第二十一讲 分析力学作业分析
第二十一讲 分析力学作业分析
解题方法和要点 °虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: 1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) (2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度并选择广义坐标 (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 示 5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题就是达朗贝原理
解题方法和要点 •虚功原理与达朗贝原理 虚功原理是关于力学平衡的普遍原理,解题方法一般为: (1)判断约束是否为理想约束;(光滑接触,刚性连接) (2)找出主动力,及作用点; (3)确定自由度,并选择广义坐标; (4)由广义坐标和坐标变换公式把虚位移用广义坐标的变分表 示; (5)由虚功原理写出平衡方程,由于广义坐标的变分独立,可以 解出问题 对运动问题加入惯性力转化为平衡问题,就是达朗贝原理
拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束)在拉氏力学中,义动量 广义坐标广义动能都内涵更丰富.解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标;S=3n-k (2)建立坐标变换公式尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;:用广义量表示动 能,用广义坐标表示广义力.对于保守系统,写出广义坐标表示的 势能最后写出系统的拉格朗日函数 (4)列出拉格朗日方程检查有无循环坐标,简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量 Fi odd ∑ OI (a=12,…,s)
•拉格朗日方程 利用广义坐标推导出来的拉氏方程对整个力学体系的运动提 供了一个统一而普遍的解决方案.主要适用于完整体系(几何约束 和可积分运动约束及不可解(双面)约束).在拉氏力学中,广义动量, 广义坐标广义动能都内涵更丰富.解题一般方法 (1)首先正确判断完整体系自由度,适当选取广义坐标;s=3n-k (2)建立坐标变换公式,尽量不显含时间; (3)判断是否保守体系,分析用何种拉氏方程;用广义量表示动 能, 用广义坐标表示广义力. 对于保守系统, 写出广义坐标表示的 势能. 最后写出系统的拉格朗日函数. (4)列出拉格朗日方程;检查有无循环坐标,简化方程组; (5)利用初始条件解出拉格朗日方程. 如不是保守体系,要找到和自由度数目相同的广义力分量. ( s) q r Q F α i n i i 1,2, , 1 = = =
思考题 51)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移虚功正是作用在体系的力包括约束力)在任意虚位移上作的功 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便缺点:理 想约束不能直接求解约束力但可以解除约束来求得 52)为什么在拉格朗日方程中,Q不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何?我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到约束力虚功为零故在 拉氏方程中不再包括约束力.广义坐标是确定完整体系的几何位 置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响广义力可以是力 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
5.1)虚功原理中的“虚功”二字作何解释?用虚功原理解平衡 问题有何优点及缺点? 一、思考题 虚位移是在不破坏约束的前提下力学体系可能实现的无限小位 移.虚功正是作用在体系的力(包括约束力)在任意虚位移上作的功. 因此虚功只决定于质点受力和约束条件,与作用力是否真的做功无 关.在使用时,由于约束力自动消失,所以求解主动力方便.缺点:理 想约束,不能直接求解约束力,但可以解除约束来求得. 5.2)为什么在拉格朗日方程中,Q不包含约束反作用力?又广义 坐标及广义力的含义为何? 我们根据什么关系可以由一个量的量 纲定出另一个量的量纲? 由于拉格朗日方程是在理想约束下得到,约束力虚功为零,故在 拉氏方程中不再包括约束力. 广义坐标是确定完整体系的几何位 置,彼此独立的编书,选取时,可以不受约束的影响.广义力可以是力, 力矩压强,电场等等同时它不包括约束力.广义力的量纲可以用能 量量纲减去广义坐标的量纲得到
53)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m?为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量Pa ,与广义速度并不仅仅是差一个乘数义动 量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量 是比广义速度更为基本的物理量 54)既然是广义动量那么根据动量定理,a(a是否应 等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力 55)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系,能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系如不完整不能使用它
5.3)广义动量P和广义速度是不是只相差一个乘数m? 为什 么广义动量比广义速度更富有物理意义? 广义动量 ,与广义速度并不仅仅是差一个乘数,广义动 量可能是动量,也可能是角动量,在理论物理中是一个正则变量, 是比广义速度更为基本的物理量. q T p = 5.4) 既然 是广义动量,那么根据动量定理, 是否应 等于广义力?为什么拉格朗日方程式中多出了一项拉氏力?你能 说出它的物理意义和所代表的物理量吗? q T ( ) q T dt d 它只是广义力的一部分,广义力其实是广义动量对时间的导数减 去拉氏力,通常又叫做广义惯性力. 5.5)为什么拉氏方程只适用于完整系?如不是完整系, 能否得 到拉氏方程? 拉氏方程是用广义坐标来表示的完整约束的力学体系,只能适用 于完整系.如不完整,不能使用它
、习题解答 51)试用虚功原理解3题 解:杆受理想约束,位置可由杆与 R O 水平方向夹角a唯一确定.由虚功 原理 oW=∑F6=0→mg分=0 mg 坐标变换方程 Vc=2Rcosasin a-asin a=Rsin 2a-asin a 要使虚功原理成立,则必须2Rcos2a-ac0s=0 C 2R cOS 2a= 2R 2R2 4(Cc-2R) 当内部长为c时,a=2
5.1) 试用虚功原理解3.1题. 一、习题解答 解:杆受理想约束,位置可由杆与 水平方向夹角唯一确定. 由虚功 原理 R O y x a mg 0 0 1 = = = = i c n i i W F r m gy 坐标变换方程 yc = 2Rcos sin − asin = Rsin 2 − asin 要使虚功原理成立,则必须 2Rcos2 −acos = 0 2 2 2 2 2 ,cos 2 2 cos R c R R c − = = 当内部长为c时, a=l/2, c c R l 4( 2 ) 2 2 − =
52)试用虚功原理解34题 解:这是理想约束,自由度为1选取a 为广义坐标.显然 2rsin B (I+r)sin a, x,=0 1=y2=(+r)cosa, v3=(+r)cos a-2rcos B trcs a Sy,=On2=-(+r)sin aSa, 2rcos S0或 Sy3=(+r)sin aSa+(l+r)tan B cossA 由虚功原理PC1+P2y2+P33=0 3sin a-tan B cosa)Sa=0=tan B=tan a
5.2) 试用虚功原理解3.4题. 解:这是理想约束, 自由度为1.选取 为广义坐标.显然 ( ) ( ) ( ) cos 2 cos cos , sin , 0 2 sin 3 1 2 3 1 2 y l r r y y l r l r x x x r = + − = = + = − + = = − = − 1 2 3 x y ( ) ( ) sin ( )tan cos sin , 3 1 2 y l r l r y y l r = − + + + = = − + 由虚功原理 P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 = 0 (3sin − tan cos) = 0 tan = 3tan ( ) 2 cos cos r l + r =
53)长度同为的轻棒4根,光滑地联成 菱形ABCD.AB,AD两边支于同一水平 线上相距为2a的两根钉上,BD间则用 轻绳联结,C点上系一重物W.设A点上 的顶角为2a试用虚功原理求绳中张力T 解:在钉子处约束力垂直虚位移是理想约束BD绳子去掉,用 力T代替该问题自由度为1选取a为广义坐标显然 D -sin a D l Dc =2l cosa-a a yc=-27sin aba-alsinasa 由虚功原理WSvc+T2axB-Tag=0 可求出 T=W a-1 27
5.3)长度同为l的轻棒4根,光滑地联成 一菱形ABCD. AB,AD两边支于同一水平 线上相距为2a的两根钉上, BD间则用一 轻绳联结, C点上系一重物W．设A点上 的顶角为2,试用虚功原理求绳中张力T. x y 解:在钉子处约束力垂直虚位移,是理想约束.BD绳子去掉,用 力T代替.该问题自由度为1.选取为广义坐标.显然 = − − = − = − = − = − = − − 1 2 2 sin /sin cos 2 cos tan sin y l a x x l y l a x x l C B D C B D 由虚功原理 WyC +TB xB −TB xB = 0 可求出 = csc −1 2 tan 3 l a T W
54)一个质点重量为w,被约束在竖直圆周x2+y22=0上,并受 水平斥力k2x的作用试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力 解:自由度为1质点位置(xy)f(x,y)=x2+y2-r 的F+2=0.kx+2x=0x=0y=± W →{W+2xy=0→1元 F+4=0 2y x-+ r2-w2/k4,y=v/k2 因为 R=nvf=a 0f(0f 2√x2+y 得 wh2/k R=2r=千1 R=2r=-kor
5.4)一个质点重量为w,被约束在竖直圆周x 2+y 2 -r 2=0上,并受一 水平斥力k 2x的作用.试用拉氏乘子法求质点的平衡位置和约束力. 解:自由度为1.质点位置(x,y) ( , ) 0 2 2 2 f x y = x + y − r = 由 = − = = − = = + = + = + = = + = + 2 2 4 2 2 2 2 2 / , / 2 0, 2 0 2 0, 0 0, x r w k y w k y w x y r x y r w y k x x y f F x f F y x 因为 2 2 2 2 2 x y y f x f R f = + + = = 得 R r w y r x = = = = , 2 0 R r k r y w k x r wh k 2 2 2 4 , 2 / 2 / = = − = = −
55)在离心节速器中,质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动,而 整个系统则以匀角速绕该轴转动试写出此力学体系的拉氏函 数,设连杆的质量均可不计 解:自由度为1选广义坐标为6 JXB-asin 0, xp=asin O,xc=0 [=B=acos, =D=acos 0, =c=2a e vn2 4 B D=acos60元 0 zn=/2=-asi660 E v=V+Qxr=(xi +ij+ik)+(Qk)x(xi+yj+zk 求得v2=vb=ab2+ga2sin2,v2=4a2sin2b 势能 V=-2ga(m+m2,)cos 6 L=T-V=m,a(6+Q2 sin 0)+2m,a sn 80+2ga(m, +m,)cos e
5.5)在离心节速器中,质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动,而 整个系统则以匀角速绕该轴转动.试写出此力学体系的拉氏函 数, 设连杆的质量均可不计. 解:自由度为1.选广义坐标为 = = = − = − = = = = = = − = = / 2 sin cos , 0 cos , cos , 2 cos sin , sin , 0 z z z a x x a x z a z a z a x a x a x B D C B D C B D C B D C 由 v V r (xi yj zk ) ( k ) (xi yj zk ) r = + = + + + − + + x z 求得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin , 4 sin vB = vD = a + a vC = a 势能 V = −2ga(m1 + m2 )cos ( sin ) 2 sin 2 ( 1 2 )cos 2 2 2 2 2 2 2 2 L = T −V = m1 a + + m a + ga m + m