《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第八讲 有心力两体问题质心坐标系

1.3)曲柄OA以匀角速ω绕定点O转动此曲柄借连杆AB使滑块 B沿直线Ox运动求连杆上C点的轨道方程及速度设AC=CB=an AOB=P, ABO=y. 解:研究对象为C,建立直角坐标系如 图,则C点的坐标从图中可以得出 x=rcos +acos,y=asin yr 2 ∵FSnφ=2asnv,Smq since a cosy=vaf-y (1)2+(2),4x2(a2-y2)=(x2+3y2+a x-va-y 轨道方程 cos p rosin pp-aysinv,y=ay cos y from title, p=ot, =@ ro cos pp Vcos+4sin cosy sin(+) 2a cost 2a cosu then x=-rasin tan y cos p,y COS (D

1.3) 曲柄OA以匀角速绕定点O转动. 此曲柄借连杆AB使滑块 B沿直线Ox运动. 求连杆上C点的轨道方程及速度. 设AC=CB=a, AOB=, ABO=. 解:研究对象为C, 建立直角坐标系如 图, 则C点的坐标从图中可以得出 cos (2) since cos (1) 2 sin 2 sin , sin cos cos , sin 2 2 2 2 r x a y a a y r y r a x r a y a − −  = = − =  = = + =          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) +(2) ,4x (a − y ) = (x +3y + a −r ) 轨道方程 cos 2 tan cos , 2 then sin cos cos 2 from title, , and sin sin , cos                      r y r x r a r t x r a y a = − − =  = = = = − − =             (  )    = cos + 4sin cos sin + 2 cos 2 a r v

1.24)质量为m与2m的两质点,为一不可伸长的轻绳所联结,绳挂 在一光滑的滑轮上在m的下端又用固有长度为a倔强系数k为 ng/的弹性绳挂上另外一个质量为m质点在开始时,全体保持 竖立,原来的非弹性绳拉紧,而有弹性的绳则处在固有长度上由 此静止状态释放后,求证这运动是简谐的,并求出其振动周期及 任何时刻两段绳中的张力T及T 证:取坐标轴向下为正对应三点表示如图 mx,=7+mg-1 mg x+mg 2m T K3=mg -T 2mx,=2mg -T x3 and元2=一元,x3=元1+ mg T=kr mg Im(i,+x)=mg a then xtex 2兀2兀 Ba ,x=a(1-oso),T=21-co2/8 v2a

1．24)质量为m与2m的两质点, 为一不可伸长的轻绳所联结, 绳挂 在一光滑的滑轮上. 在m的下端又用固有长度为a倔强系数k为 mg/a的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点. 在开始时, 全体保持 竖立, 原来的非弹性绳拉紧, 而有弹性的绳则处在固有长度上. 由 此静止状态释放后, 求证这运动是简谐的, 并求出其振动周期 及 任何时刻两段绳中的张力T及T’. x2 证 x1 : 取坐标轴向下为正. 对应三点表示如图 x3 ' ' ' and , ' ' 2 2 ' 2 1 3 1 3 2 1 x a mg T k x x x x x x mx mg T mx mg T mx T mg T = = = − = +      = − = − = + −         x’ ( ) 3 4 ' 3 4 then ' ' ' 2 2 ' 1 1 1 g x a g x x a mg m x x mg mx mg T x mg T a mg mx + =        + = − − = − = + −              = = = − = − t a g x a t T m g g a 2 cos 2 3 1 , ' (1 cos ), 2 1 4 3 2 2     

1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动,并假定振幅很小,故阻力 与o成正比,且可写为R=-2ma,式中m是摆锤的质量,为摆长, k为比例常数试证当k2<g/时.单摆的振动周期为 T=2丌 dy 8-h2l 解 drs-mg sin 6-2mk10 6 dy dt R 10=-gsin0-2k10-s0,0+2kO+3b=0 设g/=02为固有频率,在k2<g情况,即阻力较小时,上述方程解为 0=4"co(0+0)O=Vo2-k2 丌 2丌 k k

1.31)假定单摆在有阻力的媒质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力 与成正比, 且可写为R=－2mkl , 式中m是摆锤的质量, l为摆长, k为比例常数. 试证当k 2＜g/l时．单摆的振动周期为 g k l l 2 2 −  =   R v mg 解:   mg mkl  t v m sin 2 d d = − −    l t v = d d sin 2 2 0 sin ~   = −  −  ⎯⎯⎯→ +  +  =   l g l g k l k     设g/l=0 2为固有频率, 在k 2< g/l情况,即阻力较小时,上述方程解为 2 2 0 0 A e cos( t ), k t = + = − −       g k l l k 2 2 2 0 2 2 2 − = −  = =      

214)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索,竖直地自高处下坠至 地板上如绳索的长度等于L每单位长度的质量等于.求当绳索 剩在空中的长度等于x时绳索的速度及它对地板的压力设开始 时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为h 解:绳索剩x时,其质量m=x,受 力F= xg d (mv)=F(t), N dy (am)=-axg→=-g→vv=|-gdx:v2=2(h+l dt dx 再求对地板压力dm=N-a(-x)→v=N-0(-x)g N=o[2h+3(1-x)g

2.14)一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索, 竖直地自高处下坠至 地板上. 如绳索的长度等于l. 每单位长度的质量等于 . 求当绳索 剩在空中的长度等于x时. 绳索的速度及它对地板的压力. 设开始 时绳索的速度为零,它的下端离地板的高度为h. h l O x N 解: 绳索剩x时, 其质量m＝ x, 受 力F=－ xg ( ) ( ), d d mv F t t = d d , 2 ( ) d d ( ) d d 2 0 v g v v g x v g h l x x v x v x g t x h l v = −  = −  = −  = + −   +   再求对地板压力N N l x g v N l x g t m v ( ) ( ) d d 2 = − −   = − − N =2h+3(l − x)g

215机枪质量为M放住水平地面上,装有质量为M的子弹机 枪在单位时间内射出子弹的质量为m其相对于地面的速度为u 如机枪与地面的摩擦系数为试证当M全部射出后,机枪后退 的速度为M1g 2mM 解:坐标系选取水平x时向机枪后退方向为正,任意时刻机枪总 质量为M(),后退速度为y,显然 dM dtm. M(t)=M+M-mt 摩擦力 N(O)u=(M+M-mt ug 由 d (M(t)) dm( dt dt u=F(t), (M+M"-m)h)-m2=-(M+M-m dt 两边积分,且=0,v2=0,u=0,得 (+M-mty -mu, t=(M+M)t-5 mtu

2.15)机枪质量为M, 放任水平地面上, 装有质量为M’的子弹. 机 枪在单位时间内射出子弹的质量为m, 其相对于地面的速度为u. 如机枪与地面的摩擦系数为试证当M’全部射出后，机枪后退 的速度为 ( ) g mM M M M u M M  2 ' ' 2 2 + − − 解: 坐标系选取水平x时向机枪后退方向为正, 任意时刻机枪总 质量为M(t),后退速度为v,显然 m M t M M mt t M = , ( ) = + '− d d ' 摩擦力 N(t) = (M + M'−mt)g ( ), d d ( ) ( ( ) ) d d u F t t M t M t v t 由 − = (M M m t)v m u (M M m t) g t ( + '− x ) − x = − + '−  d d 两边积分,且t=0, vx =0,ux =0,得 (M M m t)v m u t (M M )t m t g x x       + − − = − + − 2 2 1 '

而子弹全部射完需要的时间为 M 2MM+M My-Mu pg 2m 2MM+M M-MM—M ug 2Mm M.(M+M)-M2 2Mn

而子弹全部射完需要的时间为 m M t ' = g m MM M Mv M u x x  2 2 ' ' ' 2 + − = − ( ) g Mm M M M u M M g Mm MM M u M M v x x x   2 ' ' 2 ' 2 ' ' 2 2 2 + − = − +  = −

218)原始总质量为M的火箭,发射时单位时间内消耗的燃材与 M正比,比例常数为a并以相对速度喷射已知火箭本身的质量 为M,求证只有当aν>g时,火箭才能上升;并证能达到的最大速 度为 vIn Ma、M0 M MM 能达到的最大高度为 2g、M 证明:要使火箭上升,必须发动机推力>火箭重量 dM vQM,wMo>Mog→va>g 由于是常量,所以火箭飞行速度可从公式得 火-V0 +yIn 火箭质量变化是常数,=0 M& 火k=vhn(1-ar)-gt

2.18) 原始总质量为M0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃材与 M0正比, 比例常数为, 并以相对速度v喷射.已知火箭本身的质量 为M, 求证只有当 v＞g时, 火箭才能上升; 并证能达到的最大速 度为 能达到的最大高度为         − − 0 0 ln 1 M g M M M v           + − −      M M M v M M M g v 0 0 2 0 2 ln 1 ln 2  证明:要使火箭上升,必须发动机推力>火箭重量. v M v M M g v g t M v =  0 ,  0  0    d d 由于v是常量,所以火箭飞行速度可从公式得 gt M M v = v + v − 0 0 火 ln 火箭质量变化是常数,v0=0 v 火 = v ln(1−t) − gt

而燃料燃烧时间t=-0~M M M vIn Ma、M 从而火箭燃烧结束的高度为 dr k-vIn dh M 1 M h Imax 1-h C 9 aM 然后火箭以初速度vn3竖直上抛,高度为 M MM max max 2g 2g 0a(MM2/么) y2(,M M In max gM丿a(M。M

而燃料燃烧时间 , 0 0 M M M t  − =        = − − M g M M M v v 0 0 max ln 1  火 从而火箭燃烧结束的高度为   2 2 1 ln(1 ) (1 )ln(1 ) d d t t t gt v v v t gt h t h = = − −  = − − + −  火  2 0 0 0 1max 2 1 1 ln         −  −      = − M M M g M v M h   然后火箭以初速度vmax竖直上抛,高度为 2 0 2 0 0 2 0 2 2 max 2max 1 2 ln 1 ln 2 2         + −         − −         = = M g M M M M v M M M g v g v h           + − −         = + = 0 0 2 0 2 max 1max 2max ln 1 ln 2 M M M v M M M g v H h h 

第八讲 有心力 两体问题 质心坐标系

第八讲 有心力 两体问题 质心坐标系

本讲导读 有心力的性质 比耐公式 开普勒定律 两体问题 质心系和实验室系 引力场

本讲导读 • 有心力的性质 • 比耐公式 • 开普勒定律 • 两体问题 • 质心系和实验室系 • 引力场