第十七讲 哈密顿函数
第十七讲 哈密顿函数
本讲导读 广义动量守恒原理 哈密顿函数 非完整系统的动力学 拉格朗日动力学的推广
本讲导读 • 广义动量守恒原理 • 哈密顿函数 • 非完整系统的动力学 • 拉格朗日动力学的推广
广义动量守恒原理 如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q2即OL/0qa 0,这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标)于是,拉格 朗日方程(529)给出 d aL 0 dt aq 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标,拉格朗日函数不包含整体 平移坐标即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的,广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理.若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标,拉格朗日函数L对于整体转动不变,拉格朗日函数是各向同 性的,则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理.在矢量力学中 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零,内力的力矩和为零),而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件
如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q , 即L/ q =0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格 朗日方程(5.29)给出 0 d d = q L t 即广义动量守恒 如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体 平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守 恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动 坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同 性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第三定律为先决条件 (内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则 并不以牛顿第三定律先决条件. 一、广义动量守恒原理
例1质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上,质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下求这两个楔子的加速度 解:大楔子在水平方向运动,小楔子在大楔子 斜边上运动.系统有两个自由度.取桌面上的 固定点O,大楔子质心相对于O点坐标记作X 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜♀x 边的坐标记作q￥和q可作为系统的广义坐标 主动力是两个楔子所受的重力,大楔子的势能在运动过程中 不起变化,可以不考虑.只要讨论小楔子的势能就够了计算动能 的时候要注意,小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的,而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度 T=MX2+m(v2水平+2竖直 MB2+(+0)+(m
例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的 光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度. 解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子 斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的 固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜 边的坐标记作q,X和q可作为系统的广义坐标. 主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中 不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能 的时候要注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随 着大楔子在水平方向运动的速度. ( ) ( cos ) ( sin ) , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 MX m X q q T MX m v v = + + + = + 水平 + 竖直
V=ggsn 0 于是,拉格朗日方程给出运动方程 d MX+m(X +gcos 0)=0 dd dr m(X cos 6+g+mgsin 6=0 大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为 F、 mg sin 6 cos M+msin 0 (M+m)g sin O g M+msin 0
V = mgqsin 于是, 拉格朗日方程给出运动方程 + + = + + = ( cos ) sin 0 d d ( cos ) 0 d d m X q mg t MX m X q t 大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为 2 sin sin cos M m mg X + = ( ) 2 sin sin M m M m g q + + = −
二、哈密顿函数守恒原理 拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率 dL aL OL aL dq dt a ∑。qn+∑ dt 在主动力全是保守力的情况下,利用完整系统的拉格朗 日方程把Oaq改写,即得 dl al d aL ∑ aL dia al d aL dt at d-dt(aq dg dt at dt ac 这样 d OL OL L dt a=f ac at
拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率 t q q L q q L t L t L s s d d d d 1 1 = = + + = 在主动力全是保守力的情况下, 利用完整系统的拉格朗 日方程把L/ q改写, 即得 + = + + = = = = s s s q q L t t L t q q L q q L t t L t L 1 1 d 1 d d d d d d d 这样 t L q L q L t s = − − d =1 d 二、哈密顿函数守恒原理
定义哈密顿函数 L H=∑ L=∑p29-L 如拉格朗日函数L不是时间显函数,哈密顿函数H守恒 哈密顿函数是什么? ar 因为坐标变换不显含时间,所以 于是7=∑m=∑m∑q∑ B=104B 1 ar ar ∑∑∑。m lab B 2 dg a
定义哈密顿函数 q L p q L q L H s s − = − = =1 =1 如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒 哈密顿函数是什么？ 因为坐标变换不显含时间, 所以 = = s i i q q r r 1 于是 q q q r q r m q q r q q r T m r r m i n i i i s s n i s i s i i i i n i i = = = = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1
因为a=∑∑ S、1r;o I ar. ar ga og B 2 dg d q ∑=∑∑∑m听. la oa 9a9,=2T 这样,我们得到 H=∑p,9,-L=27-(T-V)=T+V 在坐标变换不显含时间的条件下,动能是广义速度的二 次齐次式,哈密顿函数就是机械能
因为 q q r q r m q q r q r q m q r q r m q T i n i i i s i n i i i s i n i i i s = + = = = = = = = 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 q q T q r q r q m q T s s i n i i i s 2 1 1 1 1 = = = = = = 这样, 我们得到 H p q L T T V T V s = − = − − = + = 2 ( ) 1 在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二 次齐次式, 哈密顿函数就是机械能
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的,但变换r=r(1 显含时间, +∑ ar ar ar ar T B i=1 at d qqn+∑∑ ar. ar ar. ar 广义速度二次函数T2 一次函数T 零次函数T OT ar ar m aa a ∑m at a
如果约束是不稳定的或者约束是稳定的, 但变换ri＝ri (q,t) 显含时间, = + = s i i i q q r t r r 1 = = = = = = = = = = + + = + + = = n i i i i s i n i i i s s i n i i i n i s i i s i i i i i n i i t r t r q m t r q r q q m q r q r m q q r t r q q r t r T m r r m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 广义速度二次函数T2 一次函数T1 零次函数T0 q r t r q m q r q r m q T i n i i i s i n i i i + = = = = 1 1 1
OT ∑应9=∑∑∑ ar:. ar qq,+∑∑m ar: a at a 哈密顿函数, H=∑p2n-L=72-T0+V 这样,在变换式显含时间的条件下,哈密顿函数H并非机械能, 只能姑名之为广义能量 注意:矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力.可是. 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间 这两种根源是否矛盾呢?原来,这两者并不是一回事矢量力学 所说的势能对应于所有的力包括主动力和约束力,而拉格朗日 函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力,即只包括主动 力,不包括理想约束力.可见这两种势能并不相同,机械能守恒 的条件当然也就不同了
2 1 1 1 1 1 1 1 2T T q q r t r q q m q r q r q m q T s i n i i i s s i n i i i s = + + = = = = = = = 哈密顿函数, H p q L T T V s = − = − + = 2 0 1 这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能, 只能姑名之为广义能量. 注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学 所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日 函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动 力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒 的条件当然也就不同了
