《理论力学》课程教学资源（PPT课件）第十二讲 作业复习（二）

第十二讲 作业复习(二)

第十二讲 作业复习(二)

31)半径为r的光滑半球形碗,固定在水平面上.一均质棒斜靠在 碗缘,一线在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为c,试证棒的全 长为 证:研究对象为棒,建立直角坐标系并y 受力分析如图 平衡方程 mg ∑F=0 Rcos e= mg sin B→R= mg tan ∑M,=0ksm0=-mg0 又几何条件 tan 0 R2-(c/2) C/2 联立上述方程,得 4(c2-2r

3.1)半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在 碗缘, 一线在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全 长为 证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系并 受力分析如图. 平衡方程 2 0 sin cos 0 cos sin tan 1       = = − − = =  =   = c l M Rc mg F R mg R mg n i B x      ( ) c c r 2 2 4 − 2 x y N R mg A B  又几何条件 / 2 ( / 2) tan 2 2 c R − c  = 联立上述方程, 得 ( ) c c r l 2 2 4 − 2 =

32)长为2的均质棒,一端抵在光滑墙上,而棒身则如图示斜靠 在与墙相距为d的光滑棱角上求棒在平衡时与水平面所成的角 度 解:研究对象为棒,受力分析如图建立 直角坐标系为x轴水平向右,y竖直向上 mg 平衡方程 第3.2题图 ∑F,=0 rcos e=mg Rd M,=0 -Img cos 0 cose c0s3O=2→b=c0s

3.2)长为2l的均质棒, 一端抵在光滑墙上, 而棒身则如图示斜靠 在与墙相距为d的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角 度 . N mg R 解: 研究对象为棒, 受力分析如图. 建立 直角坐标系为x轴水平向右, y竖直向上 平衡方程 1/3 3 1 1 cos cos cos cos 0 0 cos        =  = = = − = = − =   l d l d lmg Rd M F R mg n i A y     

33)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起,且角ABC形成 一直角.如将此棒的A点用绳系于固定点上,棒AB和BC的长度分 别为a,b.则当平衡时,AB和竖直直线所成的角θ满足下列关系 tan 0 R a<+2ab 6 解:研究对象为ABC结构受力分析如图 B 118 按照题意,知道 m,=pa, m,=pb 28 平衡时: ∑M=0m8号m0mmm tan e (a+2b )a

3.3)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起, 且角ABC形成 一直角. 如将此棒的A点用绳系于固定点上, 棒AB和BC的长度分 别为a,b. 则当平衡时, AB和竖直直线所成的角满足下列关系 解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图. 按照题意,知道 a ab b 2 tan 2 2 +  = A B C  m1g m2g  R 平衡时: m m a m b a b m g a M m g n i A ( 2 ) cos sin tan 2 sin 2 0 1 2 2 1 2 1 +  =       = = − =     m1 = a,m2 = b a b a b ( 2 ) tan +   =

3.5)一均质的梯子,一端置于摩擦系数为1/2的地板上,另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍,爬到 梯的顶端时,梯尚未开始滑动,则梯与地面的倾角最小当为若干? 解:研究对象为梯子,人在顶端时,梯子与地面的夹角为α,梯子 重量p,人重 平衡时 NA 3 ∑F=0NB=-N B p a ∑F,=0N+NB=4p B M=0 1+3p1-= I cosa-N sin a=0 41 ∴tanc 24

3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干? 解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子 重量p, 人重3p. x y A B p 3p NA NB  平衡时: cos sin 0 3 1 3 2 l 0 4 3 1 0 2 1 0 1 1 1  − =      = + − = + = = = −    = = = M p l pl N l  N l  F N N p F N N A A n i B A B n i y B A n i x 24 41 tan =

39)证明对角线长度为的立方体绕其对角线转动的回转半径为 k 2 解:这是一个求解转动惯量的问题对任一轴线转动惯量为: I=I coS a+I cOS B+1 cos y-2Im cos a cos B-21 cos a cos r-21 coS r cos B 设立方体密度为,dm= dxdydz,M=n3.现选取过质心为原 点,平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零. √3 cos a=cos y =cos B /2 对1=(+=)m=jjdv2+ C a/2-a/2-a/2 18 同理 3 18 对角线转动惯量 3a Ba 1=l coS a+1 COS B+l COSy=p M 8

3.9)证明对角线长度为d的立方体绕其对角线转动的回转半径为 解: 这是一个求解转动惯量的问题.对任一轴线转动惯量为: cos  cos  cos  2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 2 2 xx yy z z xy xz yz I = I + I + I − I − I − I 设立方体密度为 , dm= dxdydz, M=a 3 . 现选取过质心为原 点,平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零. 3 2 d k = 3 3 cos = cos = cos  = 对 ( ) ( )  18 3 d d d d / 2 5 / 2 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2 2 2 a I y z m x y y z z a a a a a a xx = + = + =     − − − 同理  18 3 5 a I I yy = zz = 对角线转动惯量 M a a I I I I xx yy z z 18 3 18 3 cos cos cos 5 2 2 2 2 =  +  +  =  =

312)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b,重为m,绕竖直轴AB以初 角速ω转动此时薄片的每一部分均受到空气的阻力,其方向垂直 于薄片的平面,其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k问经 过多少时间后,薄片的角速度减为初速度的一半? 解在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条 做微元到转轴的距离为x 每一个微元受空气阻力-d=-k(xo)2bdx 整个薄片受阻力矩为 J-dM,=kx(xo) 'bdx ko ba 4 整个薄片绕AB轴的转动惯量为:1m-xdm:mx==m do_Ma do ko ba do kba dt AB 3 dt 4 4m 4 3kba'oo

3.12)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b, 重为mg, 绕竖直轴AB以初 角速0转动. 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力, 其方向垂直 于薄片的平面, 其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k. 问经 过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半? 解:在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条 做微元,到转轴的距离为x df k(x ) bdx 2 − = −     =  =  = t A B A B t m k ba kba t m a M t I 0 / 2 2 2 2 2 4 d 4 d 3 d 4 d d 3 d 0 0        每一个微元受空气阻力 整个薄片受阻力矩为: 4 d ( ) d 2 4 0 2 k ba M M k x x b x a f f  = − = −  =   整个薄片绕AB轴的转动惯量为: 3 3 d d 3 2 0 2 2 ba ma I x m x b x a AB = = = =     0 2 3 4 kba  m t =

316)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动,其角速度为定值a 在其一瞬时,A点的速度为v,其方向则沿对角线AC试求此瞬时B 点的速度以v,a及矩形的边长等表示之假定AB=a,BC=b 解1:用解析法选取坐标如图,以A为基点 VA-O×r b and yB=0,xB=a D +x0 'Bx=vax = vA COsa=va a tb v sin a+ao=y +a0 b2 解2:用寻找瞬心法过A4做ν垂线瞬心在O点,距离A为va 连OB,因角GHa=90,所以 OB=VOA2+AB2-20A.ABcos0=v2+2vo +o a-+ OB.0=v2+2vo toa

3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动, 其角速度为定值. 在其一瞬时, A点的速度为v, 其方向则沿对角线AC. 试求此瞬时B 点的速度.以v, 及矩形的边长等表示之假定AB＝a, BC＝b. 解1:用解析法,选取坐标如图, 以A为基点      = + = − = −     By Ay B Bx Ax B B A BA v v x v v y v v r     y x a b A B D C    O and yB = 0, xB = a     a a b b v v a v a b a v v v v B y A A B x A x A A + + = + = + = = = 2 2 2 2 sin cos 解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线, 瞬心在O点, 距离A为vA/. 连OB,因角+=90o , 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos a a b ab OB OA AB OA AB v v    + + = + −  = + 2 2 2 2 2 2 a a b ab v OB v v B   + + =  = +

3.20质量为M、半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上柱的 外面绕有轻绳,绳子跨过一个很轻的滑轮,并悬挂一质量为m的物 体,设圆柱体只滚不滑,并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的,求 圆柱体质心的加速度a1,物体的加速度a2及绳中张力T 解这是平面平行运动对象圆柱和 物体受力分析如图,坐标系向右,向 下为正 网 物体:ma2=mg-t 圆柱:Ma1=T+f dO_(T fR dt do x x= re Amg a 8mg dtR R 3M+8m 3M+8m mMg 3M+8m

3．20)质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上. 柱的 外面绕有轻绳, 绳子跨过一个很轻的滑轮, 并悬挂一质量为m的物 体, 设圆柱体只滚不滑, 并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的, 求 圆柱体质心的加速度a1 , 物体的加速度a2及绳中张力T. 解:这是平面平行运动, 对象圆柱和 物体 受力分析如图,坐标系向右,向 下为正 ( ) 1 2 1 2 0 0 1 2 2 d d , 2 1 , d d : : a a a R a R x t x R T f R I MR t I Ma T f ma mg t A C C = = = = = = − = = + = −     圆柱 物体 M m Mmg T M m mg a M m mg a 3 8 3 3 8 8 , 3 8 4 1 2 + = + = + =

42)一直线以匀角速o在一固定平面内绕一端O转动.当直线位于Ox 的位置时,有一质点P开始从O点沿该直线运动.如欲使此点的绝对 速度w量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动? 解:这是一个平面转动如图坐标系 V=+0×F=n+Oy v=r+lor dr dt dr O dt→t=-sin →=—SnOt y2-(or)2

4.2) 一直线以匀角速在一固定平面内绕一端O转动. 当直线位于Ox 的位置时, 有一质点P开始从O点沿该直线运动. 如欲使此点的绝对 速度v的量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动? 解 x’ :这是一个平面转动.如图坐标系 ( ) 2 2 2 v r r v r r ri rj    = + = +  = +          ( ) ( ) t v r v r t t v r r r v r t r r t       sin sin 1 d d d d 1 0 0 2 2 2 2   =      =  = − = = − −   