第十六讲 拉格朗日动力学
第十六讲 拉格朗日动力学
本讲导读 达朗贝原理 基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程
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达朗伯原理 按照牛顿运动定律,力学系统的第/点的运动方程是 f+R-mr=0 只要把最后一项理解为一种力,上式就变为平衡方程的 类型事实上,研究第源点的运动时,若选用跟随这质点 同平动的参考系统,这质点显然是(相对)静止的,它应 当遵守平衡方程.最后一项就是惯性力这就叫作达朗伯 原理 ∑(-m)=052 达朗伯-拉格朗日方程
按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是 Fi + Ri −mi ri = 0 只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的 类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点 一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应 当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗伯 原理. ( ) 0 (5.23) 1 − = = n i i i i i F m r r ——达朗伯-拉格朗日方程 一 达朗伯原理
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的.从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式,可以导出力学系 统的动力学方程,从而概括了力学系统的运动规律 由于约束的性质是纯几何的或运动学的,因此可认为 真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方 程,故称之为“原理”.这比承认牛顿定律再加上理 想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性.当 存在非理想约束时,达朗伯原理也适用,它可叙述为: 主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零 对于完整约束或非完整约束,这个原理都适用,因此 它可以称为分析动力学的普遍原理
达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作 为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再 利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学系 统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的,因此可认为 真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方 程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加上理 想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当 存在非理想约束时, 达朗伯原理也适用,它可叙述为： 主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此 它可以称为分析动力学的普遍原理
二、动力学普遍方程 F-m12a1)6F=0(=12,…,m) F=(,F,Fka1=(,:)r=6x,6y,:) 动力学普遍方程的直角坐标形式 ∑(F-mX)6x+(F-m)6+(F=m)6 适用于具有理想约束或双面约束的系统; 适用于具有稳定(或非稳定)约束的系统; 适用于具有完整(或非完整)约束的系统; 适用于具有保守力(或推保守力)的系统
i n F m x x F m y y F m z z i i y i i i i z i i i i i x i i = , ,, − + − + − = 1 2 ( ) δ ( ) δ ( ) δ 0 动力学普遍方程的直角坐标形式 ( m ) δ 0 (i 1 2 n) i i i i i F − a r = = , ,, ( ) ( ) ( ) i i x i y i z i i i i i i i i F = F ,F ,F ,a = x , y , z ,δ r = δ x ,δ y ,δ z 适用于具有稳定（或非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 二、动力学普遍方程
次达朗贝尔一拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题,即:已知主动力求系统的运动规 律 大应用达朗贝尔一拉格朗日方程求解系统运动 规律时,重要的是正确分析运动,并在系统上施 加惯性力 火应用达朗贝尔一拉格朗日方程时,需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移,并正确计 算相应的虚功。 次由于达朗贝尔一拉格朗日方程中不包含约束 力,因此,不需要解除约束,也不需要将系统拆 开
＊ 达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力 学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规 律。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动 规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施 加惯性力。 ＊ 由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束 力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆 开。 ＊ 应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确 分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计 算相应的虚功
三、应用举例 例题1 离心调速器 已知: A m1-球A、B的质量 重锤C的质量 —杆件的长度 O-O1y1轴的旋转角速度 求 O-a的关系
例 题 1 A B C l l l l O1 x1 y1 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。 三、应用举例
解:不考虑摩擦力,这一系统的约束为理想约束;系 统具有一个自由度。 取广义坐标q=a 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕y轴等速转动;重锤静止不动。 球A、B的惯性力为FL=FB=miao2 2、给系统有一虚位移δa。A、B、C A2B B8三处的虚位移分别为8r4、δrB、8rc m18 m1g3、应用达朗贝尔一拉格朗日方程 Fu 8xA+Fi8 xB+m, SyA m28 +m186yB+m286yc=0
C l l l l O1 x y A B 解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 统具有一个自由度。 取广义坐标q= 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 2 I I FA ＝FB ＝mlsin FIB FIA m1 g m1 g m2 g 2、给系统有一虚位移 。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC rB rA rC 3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程 δ δ 0 δ δ δ 1 2 I I 1 + + = + + B C A A B B A m g y m g y F x F x m g y
根据几何关系,有 O x=isin a A o B S xhosas a yA-lcosa S isin as a mi g Isin a L& 1B yB-lcosa isin as a yc=llosa S VC=-2/sin ab a Fu SXA+FB0 xB+m,8 yA+m,8.8 y8+m2 yc=0 2m, Isin a@"lcosao a-2m,glsin as a-2m2glsin as a=0 (m1+m2) m, cosa
C l l l l O1 x y A B m1 g m1 g m2 g rB rA rC 根据几何关系，有 2 cos cos sin cos sin y l y l x l y l x l C B B A A ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ − δ 2 sin δ δ sin δ δ cos δ δ sin δ δ cos δ y l y l x l y l x l C B B A A − − − − ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ FIB FIA 2 sin cos δ 2 1 sin δ 2 2 sin δ 0 2 m1 l l − m gl − m gl = cos ( ) 1 2 1 2 m l m + m g = δ δ δ δ δ 0 FIA xA + FIB xB + m1 g yA + m1 g yB + m2 g yC =
例题2 质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量 为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。 求:1、三棱柱后退的加 速度a1 2、圆轮质心C2相对于 棱柱加速度a
例 题 2 x O y C2 D 质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上。质量 为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱 柱的斜面AB无滑动地滚下。 求：1、三棱柱后退的加 速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar。 C1 A C B