力学 兴 杨维纮 中圈科学技术大学 近代物理系
杨维纮
第互章动量理 中 第五章角动量定理 国 科 在描述转动的问题时,我们需要引进另 学个物理量—角动量。这一概念在物理学上经 技历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才 烈术定义和开始利用它,直到19世纪人们才把它看 大 成力学中的最基本的概念之一,到20世纪它加 学入了动量和能量的行列,成为力学中最重要的 概念之一。角动量之所以能有这样的地位,是 杨 维上H于它也服从守恒定律,在近代物理学中其运 用是极为广泛的
第五章 角动量定理 在描述转动的问题时，我们需要引进另一 个物理量——角动量。这一概念在物理学上经 历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才 定义和开始利用它，直到 19世纪人们才把它看 成力学中的最基本的概念之一，到 20世纪它加 入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的 概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是 由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运 用是极为广泛的。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量理 中 第五章角动量定理 国 科 §5.1孤立体系的角动量守恒 学 技 §5.2质点系角动量定理 动米》5.3质心系的角动量定理 大 学 §5.4万有引力 杨 §5.5关于万有引力的讨论 维 纮 §5.6质点在有心力场中的运动
第五章 角动量定理 §5.1 孤立体系的角动量守恒 §5.2 质点系角动量定理 §5.3 质心系的角动量定理 §5.4 万有引力 §5.5 关于万有引力的讨论 §5.6 质点在有心力场中的运动 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第章动量定理 中 85.1孤立体系的角动量守恒 国 科 第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量—动量, 学國它具备以下的条件: 对于转动我们希望能找到这样一个物理量—角动量, 技 个B1.若质点关于空间某一点作平动,它取值为零,它取非 术 零值表示质点关于该空间点作转动; 学2.对于孤立体系,它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量 杨 维 纮
§5.1 孤立体系的角动量守恒 第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量， 对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量， 它具备以下的条件： 1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非 零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第章动量定理 中 85.1孤立体系的角动量守恒 国 科 学 技 51.1单质点孤立体系和掠面速度 术 A大5.1.2两个质点的孤立体系和角动量 杨 维 纮
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 中 §5.1 孤立体系的角动量守恒 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量突理 中51单质点孤立体系和掠面速度 国 单质点的孤立体系就是不 科)受外力作用的自由质点,它作 学關匀速直线运动(我们取惯性参 技考系,且静止看成是匀速直线 米运动的特例)。 A--只-● △s△s 如图5.1,设该质点位于P 大点,沿直线AB从A向B方向 图5.1单质点孤立体系 学运动,在相等的时间间隔t 8的位移是∠s=∠At 杨 我们在AB上取一个参考点Q,随着P点的运动, 由于QP的方向不发生改变,故P点相对于Q点没有转 维□动。但如果参考点取不在AB上的点,譬如O点,由于 纮OP的方向(即r的方向)在不断改变,故P点相对于 O点有转动。我们现在来寻找守恒量
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图5.1，设该质点位于P 点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向 运动，在相等的时间间隔 ⊿t 的位移是 ⊿s = v⊿t。 我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动， 由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转 动。但如果参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。我们现在来寻找守恒量。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量突理 中51单质点孤立体系和掠面速度 国 由图可见,各时间间隔∠t 科)内矢径r扫过的那些小三角形具 学固有公共的高线OB1因而有相等 是我们 技是:矢径r在单位时间内扫过的 术面积S,我们称该面积S为质点 5A--1---<6 △s△s 大P的掠面速度。设夫径r与48 图5.1单质点孤立体系 学 立体系有: △S S==r-sin 6=resin 0= 常量 2△t 2 杨 该式也可以换一种表达法,即掠面速度对时间的微 维国商为零: S 纮
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： = = 常量 = sin 2 1 sin 2 1 rv t s S r 该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微 商为零： = 0 dt dS 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量突理 中51单质点孤立体系和掠面速度 国 当然,上面所考虑的只是 科)平面运动的情况,对于单个的 学自由质点,它只可能在某个平 技面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点,仅考虑某一个 A 术平面就不行了,我们可以利用 a-·-<0△ 大矢量运算法则,将掠面速度定 图5.1单质点孤立体系 学题义为与该平面垂直的矢量。即: S=-r×y 杨 2 这样,对于单质点的孤立体系,我们找到的守恒量 维是掠面速度矢量S。当然,它与参考点的选择有关,若 参考点选在直线AB上,则掠面速度为零
5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度 当然，上面所考虑的只是 平面运动的情况，对于单个的 自由质点，它只可能在某个平 面上运动。但是我们接下来要 考虑多个质点，仅考虑某一个 平面就不行了，我们可以利用 矢量运算法则，将掠面速度定 义为与该平面垂直的矢量。即： S = r v 2 1 这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量 是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若 参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量突理 中5.12两个质点的孤立体系和角动量 国 对于两个质点的孤立体系, 科)它们虽然不受外力作用,但两个 学圖质点之间是有作用力的。我们现 技在来寻找守恒量,首先我们能想 术到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此,在空间建立惯性参考 大 系,如图52,两个质点的质量分 学题别为m,m2,其位矢和速度分别 今/§为r,r2和v,v2。设其掠面速度图52两个质点的孤立体系 分别为S1,S2,有: 维 S,=-rxv 2 -B XV 2 纮 2 2
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 对于两个质点的孤立体系， 它们虽然不受外力作用，但两个 质点之间是有作用力的。我们现 在来寻找守恒量，首先我们能想 到的是它们每个质点掠面速度的 和。为此，在空间建立惯性参考 系，如图5.2，两个质点的质量分 别为 m1 , m2，其位矢和速度分别 为 r1 , r2 和 v1 , v2 。设其掠面速度 分别为 S1 , S2 ，有： 1 1 1 2 1 S = r v 2 2 2 2 1 S = r v 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第互章动量突理 中5.12两个质点的孤立体系和角动量 国而掠面速度对时间的微商为: 科)庸ds,1dh V.+一r:× 学 dt 2 dt 2 dt 技 =v XV+rx 1×= dt 2 烈术翻共中7=1,2为了对上式中的1 大求和,我们列出质点运动的牛顿 学题方程 图5.2两个质点的孤立体系 em, l=f, 12 =1m f21=f 杨 =rx=2mFX21、 维 dt 2m, dt 2 dt 2m ixf 因m1,m2可以为任意值,故S+4S2≠0 It dt
5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量 而掠面速度对时间的微商为： dt d dt d dt d i i i i i v v r S r = + 2 1 2 1 dt d i i i i v = v v + r 2 1 2 1 dt d i i v = r 2 1 其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿 方程： f f v = 12 = dt d m 1 1 f f v = 21 = − 2 2 dt d m r f v r S = = 1 1 1 1 1 2 1 2 1 dt m d dt d r f v r S = = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 dt m d dt d 0 1 2 + dt d dt 因 m dS S 1 , m2 可以为任意值，故 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮