Avogadro常数,∫是摩擦系数)在数学中为了方便常常简单地假定D=1.于是我们得到 ar(B,)=1 记B1的特征函数为q(1,)=Ee“0(-0<λ<∞)。那么,利用条件(1)和(3), 我们可得 qp(t+s,λ)-(t,)=Ee E =E(e(en(,-B)-1)=E( =E(ea)E(eb)-1)=E(e)E(e-k)-1) P(L, AE(e-D) 由 Taylor展开式e"=1+ⅸx--+o(x2),我们有(严格一些还需假定E|B,|<∞) E(eB,-1)=in EB. -:+O(EB) λ2s+o(s) 对(E.1)式两端除以s,并令S→0便得 这是关于t的一个常微分方程,解这个方程可得 q(t,)=(0,)e 再注意到o(0,4)=E(e4)=1,就得到 o(t, 1= 从(E.2)可以看出g(L,)=e=恰是正态分布N(0D)的特征函数.因此 B,B*s-B,~N(01)(注意特征函数与分布之间的对应是双射).另外,显见有 E|B,-B,|2=t-s 3.2 Brown运动(数学模型) 定义3·17时齐的独立增量过程B,称为 Brown运动,如果它满足 (1)Vs,B1+-B4~N(0,1) (2)对于固定的ω(基本事件),轨道B(ω)是t的连续函数(称为轨道连续的随机 过程) 一般地 Brown运动也可以对初值B不加什么限制,也就是说它可以是任何随机变量59 Avogadro 常数，f 是摩擦系数). 在数学中为了方便常常简单地假定D = 1．于是我们得到 Var B t ( t ) = 记 Bt 的特征函数为j( ,l) = (-¥ < l < ¥) lBt i t Ee 。 那么，利用条件（1）和（3）， 我们可得 t s Bt i B i t s t Ee Ee l l j + l - j l = - + ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ( 1)) ( ( 1)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 = - = - = - = - = - - - - - - - + + + s t t s t t s t t s t t t s t i B i B B i B B i B i B B i B i B B i B B i B B t E e E e E e E e E e E e e E e e l l l l l l l l l j l （E．1） 由 Taylor 展开式 ( ) 2 1 2 2 o x x e ix ix = + - + ，我们有(严格一些还需假定 E | B | ) 3 t < ¥ ( ) 2 ( 1) 2 2 2 s s s i B E e i EB EB o EB s - = × - + l l l ( ) 2 1 2 = - l s + o s ． 对（E．1）式两端除以 s，并令 s ® 0便得 ( , ) 2 1 ( , ) 2 l l j l j t t t = - ¶ ¶ ． 这是关于 t 的一个常微分方程，解这个方程可得 t t e 2 2 1 ( , ) (0, ) l j l j l - = ． 再注意到 (0, ) ( ) 1 0 = = i B E e l j l ，就得到 ò ¥ -¥ - - × = = dx t e t e e t x t i x p j l l l 2 ( , ) 2 2 2 2 1 (E．2) 从 （ E ． 2 ） 可以看出 t t e 2 2 1 ( , ) l j l - = 恰是正态分布 N(0.t) 的特征函数 ． 因 此 Bt Bt +s - Bs , ~ N(0.t) （注意特征函数与分布之间的对应是双射）. 另外，显见有 | | | | 2 E B B t s t - s = - . 3. 2 Brown 运动 (数学模型) 定义３．１７ 时齐的独立`增量过程 Bt 称为 Brown 运动, 如果它满足 （１） s,B B ~ N(0,t) " t +s - s ; （２）对于固定的w (基本事件), 轨道 (w) Bt 是t 的连续函数 (称为轨道连续的随机 过程). 一般地 Brown 运动也可以对初值B0不加什么限制, 也就是说, 它可以是任何随机变量