子连续不断地受到周围介质中的分子的冲击,从物理的角度解释了这种现象 以后, Ornstein和 Uhlenbeck等在物理上又进一步完善了这个想法 在数学上严格地描述 Brown发现的这种无规则运动,并把它纳入随机过程框架的是 Wiener.他自1918年起系统地用随机过程来建立这种运动的数学模型.这个随机过程也因 此被称为 Wiener过程.又因为 Wiener过程的背景源起于 Brown的研究,所以也称为 Brown 运动.实际上,早在 Einstein提出理论解释之前,法国数学家 Bachelier于1900年在研究债 券市场时,就已经用类似的想法得到了 Brown运动的直观模型,只是他的结果在经过半个 世纪多以后才被人们重新发现 至今,对于作为数学模型的 Brown运动的理论研究,已经非常完善。 Brown运动与 Poisson过程一起,可以说是随机过程的两大基石. Brown运动的应用十分宽广,几乎遍及 自然科学和人文科学的所有领域.有些 Nobel经济学奖获得者的工作,是以 Brown运动理论 作为基础的 物理模型的建立 按照 Einstein的分析, Brown运动表达了一个作随机运动的粒子在时间[0,上的位移 {B,:0≤S≤l}.不妨设B。=0, Einstein认为该粒子运动应满足以下的性质 (1)粒子位移的各分量都相互独立.所以,我们不妨只考虑其一个分量,仍记之为 B1,t≥0},且假定这个分量是时齐的独立增量过程; (2)运动的统计规律对空间是对称的,从而EB,=0 (3)对固定的p0,B,是一连续型随机变量,假定g()=E(B-B)2存在而且 是t的连续函数 下面对于固定的t,我们来推导B,的分布密度的表达式,记B,的分布密度为p(,x), 那么,由性质(2)及B0=0可知 8(=(B,)=xp(t,xxx 再由(3)得到 g(t+s)=E(B,)2=E(B,-B+B,-B)2 =E(B-B,)2+E(B,-B0)2=g(s)+g() 又因为g()是t的连续函数,所以g(1)一定是t的齐次线性函数,即 g()=Dt (D是一待定常数,它是单位时间内粒子平方位移的均值,称之为扩散常数,在分子运动学 中,可知D、RT 其中R是由分子的特性所决定的一个普适常数,T是绝对温度,N是58 子连续不断地受到周围介质中的分子的冲击，从物理的角度解释了这种现象. 以后，Ornstein 和 Uhlenbeck 等在物理上又进一步完善了这个想法． 在数学上严格地描述 Brown 发现的这种无规则运动, 并把它纳入随机过程框架的是 Wiener. 他自 1918 年起系统地用随机过程来建立这种运动的数学模型．这个随机过程也因 此被称为 Wiener 过程. 又因为 Wiener 过程的背景源起于 Brown 的研究, 所以也称为 Brown 运动. 实际上，早在 Einstein 提出理论解释之前，法国数学家 Bachellier 于 1900 年在研究债 券市场时，就已经用类似的想法得到了 Brown 运动的直观模型，只是他的结果在经过半个 世纪多以后才被人们重新发现. 至今，对于作为数学模型的 Brown 运动的理论研究，已经非常完善。 Brown 运动与 Poisson 过程一起，可以说是随机过程的两大基石．Brown 运动的应用十分宽广, 几乎遍及 自然科学和人文科学的所有领域. 有些 Nobel 经济学奖获得者的工作，是以 Brown 运动理论 作为基础的. 物理模型的建立 按照 Einstein 的分析，Brown 运动表达了一个作随机运动的粒子在时间[0,t]上的位移 {B : 0 s t} s £ £ ．不妨设 B0 = 0，Einstein 认为该粒子运动应满足以下的性质： （1）粒子位移的各分量都相互独立．所以，我们不妨只考虑其一个分量，仍记之为 {B ,t ³ 0} t ，且假定这个分量是时齐的独立增量过程; （2）运动的统计规律对空间是对称的，从而 EBt = 0; （3）对固定的 t>0，Bt 是一连续型随机变量，假定 2 ( ) ( ) E Bt h Bh g t = + - D 存在,而且 是 t 的连续函数. 下面对于固定的t ，我们来推导 Bt 的分布密度的表达式．记 Bt 的分布密度为 p(t, x) ， 那么，由性质（2）及 B0 = 0可知 ò ¥ -¥ g t = E B = x p t x dx t ( ) ( ) ( , ) 2 2 ． 再由(3)得到 2 0 2 g(t s) E(B ) E(B B B B ) + = t +s = t+s - t + t - ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 E B B E B B g s g t = t+s - t + t - = + ． 又因为 g (t) 是t 的连续函数，所以 g (t) 一定是 t 的齐次线性函数，即 g(t) = Dt (D 是一待定常数，它是单位时间内粒子平方位移的均值，称之为扩散常数，在分子运动学 中，可知 Nf RT D = ，其中 R 是由分子的特性所决定的一个普适常数，T 是绝对温度，N 是