∑Eem1N1,=mPN,n=n=∑Ee-m-.yx(+s)e (λEen(t+s) -2(+s) (Eeuml-1Xt+s) n 由此可以看出 Φp(a,)=e(c+",Φ(a,t+s)=(a,)y(a,s) 下面我们来验证它是时齐的独立增量性.为了突出其实质,我们只看最简单的情形,即验 证515m4-53相互独立.对于任意有界函数f,g我们有 ELf(s;)g(-s1)=E[f(m1+…+)g(7 nN. I =∑∑E(f(1+…+m)g(n+4+…+m+A)N=1N+=1+k)P(N,=1,N+=1+k) ∑Ef(+…+n)8(n+…+n1)P(N=1N-N=k) ∑∑E(1+…+m)Eg(m4+…+n1)P(N=1)P(N,=k) Ef(n1+…+m)Eg(m1+…+nk)P(N DP(N =∞0k =∑Ef(1+…+m)P(N=O∑Eg(m+…+n)P(N=k E(+…+nx)Eg(h1+…+7,) Ef(s,(s) 由∫,g的任意性可见51,5;-s,是相互独立的,而且5,与5;-5,同分布.完全类似可 以证明对于0=1<…<ln,54-5…,s1-5也是相互独立的.综上可知,复合 Poisson过程是时齐的独立增量过程,因而它也是时齐的 Markov过程在实际应用中,时段 (0,内,保险公司对某项保险支付的累计理赔金额,设备故障所需的累计维修费,自然灾 害所造成的累计损失,股票市场的累计价格变动等等,都可以用复合 Poisson过程来近似地 描述 3 Brown运动( Wiener过程)及其函数 3.1历史背景与物理模型 1827年英国生物学家 Brown在显微镜下,观测悬浮在液面上的花粉,发现花粉微粒作 着高度不规则的运动.以后其他科学家发现了更多的类似现象,如空气中的烟雾的扩散等, 但是一直找不出理想的模型来刻画此类现象.至19世纪末,人们才搞清楚这种奇怪的现象 是由于花粉(烟尘微粒)受到大量液体(空气)分子的无规则碰撞而造成的 1905年 Einstein首次对此类现象作了理论上的量化分析.他假定浸没在某种介质中的粒57 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ! ( ( )) ( | ) ( } 1 1 t s n n ia t s t s ia n e n t s E e N n P N n Ee n n - + ¥ = + + + + + + ¥ = å å × + = = = = × h L h h L h l l å ¥ = + - + = 0 ( ) ! ( ( ) 1 n t s ia n e n Ee t s l h l ( 1)( ) 1 Ee t s ia e - + = h l 由此可以看出 ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) 1 a t e a t s a t a s Ee t ia F = F + = F F - h l . 下面我们来验证它是时齐的独立增量性. 为了突出其实质, 我们只看最简单的情形， 即验 证 t t s s V V - V + , 相互独立. 对于任意有界函数 f , g 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( , ) ([ ( ) ( )] | , ) ( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 t s N N k k l t l s l k l k t s k l l l l k t s k t t s t l l l l k k t t s l l l l k t t s t t s t N N N Ef Eg Ef Eg Ef P N l Eg P N k Ef Eg P N l P N k Ef Eg P N l P N k E f g P N l N N k E f g N l N l k P N l N l k E f g E f g t s t t t s V V h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h V V V h h h h = = + + + + = + + = + + = = + + + + = = = + + + + = = = + + + + = - = = + + + + = = + = = + - = + + + + å å åå åå åå åå ¥ = ¥ = ¥ =¥ ¥ = ¥ = ¥ = + + ¥ = + ¥ = + + ¥ = + ¥ = + + + + + + L L L L L L L L L L L L L L 由 f , g 的任意性可见 t t s t V V - V + , 是相互独立的, 而且 s t s t V V - V 与 + 同分布. 完全类似可 以证明对于 1 0 1 0 , , , 0 - = < < - -n n n t t t t t L t V V L V V 也是相互独立的. 综上可知, 复合 Poisson 过程是时齐的独立增量过程, 因而它也是时齐的 Markov 过程. 在实际应用中, 时段 (0,t]内, 保险公司对某项保险支付的累计理赔金额, 设备故障所需的累计维修费, 自然灾 害所造成的累计损失, 股票市场的累计价格变动等等, 都可以用复合 Poisson 过程来近似地 描述． 3 Brown 运动(Wiener 过程)及其函数 3. 1 历史背景与物理模型 1827 年英国生物学家 Brown 在显微镜下, 观测悬浮在液面上的花粉，发现花粉微粒作 着高度不规则的运动. 以后其他科学家发现了更多的类似现象，如空气中的烟雾的扩散等， 但是一直找不出理想的模型来刻画此类现象. 至 19 世纪末，人们才搞清楚这种奇怪的现象 是由于花粉（烟尘微粒）受到大量液体（空气）分子的无规则碰撞而造成的． 1905年Einstein 首次对此类现象作了理论上的量化分析. 他假定浸没在某种介质中的粒