(这个定理还可以推广到分成多个类的情形) 2.带随机调制的 Poisson过程(二重 Poisson过程) 设{c}为随机过程,若在{5,}已知的条件下,非负整值随机过程N为强度为()的非时齐 Poisson过程,则N称为带随机调制{s}的 Poisson过程,也称为二重 Poisson过程.而更常见的是 带随机线性自调制λ·N,的 Poisson过程,也称为(o-记忆)自激点过程(参见第17章第5节) 非负随机变量也常称为一个随机时间随机时间T称为{1}可知的如果对于任意1,事件{≤l 可由过程{s}在t的信息:{5:S≤l所决定,{s;}可知的随机时间又称为{s1}-停时对于带随 机调制{5,}的 I Poisson过程N,假定它所决定的流为{xn},则n们也都是{;}-可知的,也就是说 它们都是{51}-停时 3二维 Poisson过程 设有两类不同的”事故”事故I及事故Ⅱ.记0,t内发生事故I及事故Il的次数分别为 并设它们满足 (1)在不同的时间区段内事故申报数是独立的 (2)在同样长的时间区段内事故申报数的联合概率规律是一样的; (3)No=(0.0),又假定在有限时间区段内,两种事故申报数是有限的,而且在非常短 的时间区段△t内任意一种事故申报数超过2的概率相对于△t为高价无穷小o(△t)(即 P(N≥2或N2)22)=O(△),P(N(=1,N2=0)=λ1△ P(N=0,N2=1)=λ2△M,P(N、=1,N=D=△N) 仿照 Poisson过程情形,我们可以推导得N,的矩母函数为 ee=N+2N, =-(=21-1)-2(-2-1)H(=1-2-1) 由它的展开式就可以得到N,的各种概率分布 2.5复合 Poisson过程 设{n}为独立同分布序列,而N,是一个与它独立的强度为入的 Poisson过程.我们称随 机过程5;=n1+12+…+n为(强度为λ的)复合 Poisson过程. s1的特征函数为 p(a, t+s)=Eels ms= Ee a(n++.)56 （这个定理还可以推广到分成多个类的情形）． ２．带随机调制的 Poisson 过程（二重 Poisson 过程） 设{ }t V 为随机过程，若在{ }t V 已知的条件下，非负整值随机过程 Nt 为强度为 ( )t l V 的非时齐 Poisson 过程，则 Nt 称为带随机调制{ }t V 的 Poisson 过程，也称为二重 Poisson 过程．而更常见的是 带随机线性自调制 Nt l × 的 Poisson 过程，也称为（０－记忆）自激点过程（参见第１７章第５节）． 非负随机变量也常称为一个随机时间. 随机时间t 称为{ }t V -可知的，如果对于任意t , 事件{t £ t} 可由过程{ }t V 在 t 的信 息：{ : s t} V s £ 所决定. { }t V -可知的随机时间又称为 { }t V -停时.对于带随 机调制{ }t V 的 Poisson 过程 Nt ，假定它所决定的流为 {t n }， 则 n t 们也都是{ }t V -可 知的，也就是说， 它们都是{ }t V -停时. ３ 二维 Poisson 过程 设有两类不同的”事故”: 事故 I 及事故 II. 记[0,t]内发生事故 I 及事故 II 的次数分别为 ( , ) (1) (2) Nt = Nt Nt , 并设它们满足: (1) 在不同的时间区段内事故申报数是独立的; (2) 在同样长的时间区段内事故申报数的联合概率规律是一样的; (3) N0 = (0,0) , 又假定在有限时间区段内，两种事故申报数是有限的, 而且在非常短 的时间区段Dt 内任意一种事故申报数超过 2 的概率相对于Dt 为高价无穷小 o(Dt ) (即 ( 2 2) ( ) (1) (2 ) P N N o t Dt ³ 或 Dt ³ = D , ( 1, 0) , 1 (1) (2) P N N t Dt = Dt = = l D P N N t Dt = Dt = = l2D (1) (2) ( 0, 1) , P N N t ( Dt =1, Dt = 1) = mD (1) (2) ). 仿照 Poisson 过程情形, 我们可以推导得Nt 的矩母函数为 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 1 2 (2) 2 (1) 1 + - - - - - - = z N z N z z z z Ee e t t l l m . 由它的展开式就可以得到 Nt 的各种概率分布. 2. 5 复合 Poisson 过程 设{ } hn 为独立同分布序列, 而Nt 是一个与它独立的强度为l 的 Poisson 过程. 我们称随 机过程 Nt V t =h1 +h2 +L+h 为 (强度为l 的) 复合 Poisson 过程. t V 的特征函数为 ( ) 1 ( , ) t s Nt s ia ia a t s Ee Ee + + + + + = = V h h F L