命题3.15当前时刻t所用的部件的寿命TN+1的概率分布密度函数为 Pr(S)=(1+.s)eo)(s)+(1+xD)e=(s) 例3.16设第k个乘客到达公共汽车站的时刻τk,服从指数流,则在[Q,4中所有 乘客等待时间的和的数学期望为 E∑(t-k)=E{E(∑(-τk)N k=1 ∑P(N=n)E(∑(-r)|N=n) ∑P(N=nm-∑E(r;|N,=n) 由定理3.11可知上式右方第二项等于n个独立的U[O,]随机变量和的期望,其值应 为一,于是 C(-)=∑-c 2.4常见的推广 1.非时齐的 Poisson过程 对于独立增量过程N1,如果存在可积正函数入()使N1-N,~eNp 那么N就 称为强度函数为(1)的非时齐 Poisson过程.而 Poisson过程的强度函数为常数 定理3.10(时齐 Poisson过程的非齐次分流定理) 设N为强度为λ的 Poisson过程把其相应的指数流看成顾客流,对任意时刻s,如有顾 客到达,则以与此指数流相独立的概率p(s)(0<p(s)<1),确定该顾客归入第一类,而以 概率1-p()确定该顾客归入第二类记N,为t前到达的第类顾客数那么 20号N20分别为强度(与小a-p()的非时齐m过 程,而且相互独立 证明与 Poisson过程的分流定理相仿.只要注意 P(N-N0=1) p(1)元·h+o(h)、(i=1) (1-p()·h+o(b)(=2)55 命题３.１５ 当前时刻t 所用的部件的寿命TNt +1 的概率分布密度函数为 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) [0, ) [ , ) 1 p s s e I s t e I s t s t s TNt ¥ -l -l D = l + l × + l + l × + . 例３．１６ 设第k 个乘客到达公共汽车站的时刻 k t , 服从指数流, 则在[0,t] 中所有 乘客等待时间的和的数学期望为 ( ( )) { ( ( ) | )} 1 1 å å = = - = - t Nt k k t N k E t t k E E t t N å å ¥ = = = = - = 0 1 ( ) ( ( ) | ) n n k P Nt n E t t k Nt n å å ¥ = = = = - = 0 1 ( )( ( | )) n n k P Nt n nt E t k Nt n ． 由定理３．１１可知上式右方第二项等于n 个独立的U[0,t]随机变量和的期望, 其值应 为 2 nt , 于是 ( ( )) 1 å= - Nt k k E t t ) 2 ( ! ( ) 0 å ¥ = - = - n t n nt e nt n t l l 2 2 lt = ． 2. 4 常见的推广 １．非时齐的 Poisson 过程 对于独立增量过程 Nt ，如果存在可积正函数 l(t) 使 u du t s t s N N ( ) ~ exp l ò - ，那么 Nt 就 称为强度函数为l(t) 的非时齐 Poisson 过程．而 Poisson 过程的强度函数为常数． 定理 3.１0’ (时齐 Poisson 过程的非齐次分流定理) 设Nt 为强度为l 的 Poisson 过程, 把其相应的指数流看成顾客流, 对任意时刻s, 如有顾 客到达, 则以与此指数流相独立的概率 p(s) (0 < p(s) < 1) , 确定该顾客归入第一类, 而以 概率1- p(s) 确定该顾客归入第二类. 记 (i) Nt 为t 前到达的第i 类顾客数. 那么 { : 0} (1) Nt t ³ 与{ : 0} (2) Nt t ³ 分别为强度 ò t p s ds 0 l ( ) 与 ò - t p s ds 0 l (1 ( )) 的非时齐 Poisson 过 程, 而且相互独立． (证明与 Poisson 过程的分流定理相仿. 只要注意 î í ì - × + = × + = + - = = (1 ( )) ( ),( 2) ( ) ( ),( 1) ( 1) ( ) ( ) p t h o h i p t h o h i P N N i t i t h l l )