(3)(1,2,-3),b(-2,-4,6),(1,0,5). 解：问题归结为求解x1云+2万+3元=0. (1)齐次线性方程组 (5x1-r2-x3=0 2x+42-3=0 +22+5ag=0, 其系数行列式 15-1-1 24-1=121≠0， 125 方程只有零解故原向量组不共面。 (②)齐次线性方程组 31+62+x-0 3x1+6江2-x3=0 21+42=0, 其系数行列式 13611 36-1=0, 240 方程组有非零解，故原向量组共面。为将元表示成立，万的线性组合，可取3=-1代入得到方程组 (3江1+6r2=1 31+6r2=1 2x1+4x2=0, 这是矛盾方程组，因此己不能表示成云，万的线性组合 (③)齐次线性方程组 1-2x2+=0 2x1-4r2=0 (-3c1+6r2+53=0, 其系数行列式 11-21川 2-40=0, -365 方程组有非零解，故原向量组共面为将亡表示成，方的线性组合，可取4=-1代入，得到方程组 1-2r2=-1 2x1-42-0 -3x1+6x2=-5. 这是矛盾方程组，因此亡不能表示成云，万的线性组合 5.设向量云，石，元的坐标分别是(1，-1,2)，(2k,1),(1,1-k,k).问当k取什么即时，云，6，元 共面？特别地，k取什么即时，a,C共线？ 解：这3个向量共面的充分必要条件是其坐标的行列式等于0，即 1 12 不 =k2-3k+2=0 11-kk 15(3) −→a (1, 2, −3), −→b (−2, −4, 6), −→c (1, 0, 5). :
a""s- x1 −→a + x2 −→b + x3 −→c = 0. (1) Ht&@AB    5x1 − x2 − x3 = 0 2x1 + 4x2 − x3 = 0 x1 + 2x2 + 5x3 = 0, <j ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 −1 −1 2 4 −1 1 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 121 6= 0, @A{Go-, !K BU(. (2) Ht&@AB    3x1 + 6x2 + x3 = 0 3x1 + 6x2 − x3 = 0 2x1 + 4x2 = 0, <j ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 6 1 3 6 −1 2 4 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0, @ABGno-, !K B(. "v −→c * −→a , −→b t&BT, >z x3 = −1 QR, P@AB    3x1 + 6x2 = 1 3x1 + 6x2 = 1 2x1 + 4x2 = 0, w45@AB, !O −→c Uc* −→a , −→b t&BT. (3) Ht&@AB    x1 − 2x2 + x3 = 0 2x1 − 4x2 = 0 −3x1 + 6x2 + 5x3 = 0, <j ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −2 1 2 −4 0 −3 6 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0, @ABGno-, !K B(. "v −→c * −→a , −→b t&BT, >z x3 = −1 QR, P@AB    x1 − 2x2 = −1 2x1 − 4x2 = 0 −3x1 + 6x2 = −5, w45@AB, !O −→c Uc* −→a , −→b t&BT. 5.  −→a , −→b , −→c WU (1, −1, 2), (2, k, 1), (1, 1 − k, k).
: b k z/0R, −→a , −→b , −→c (? im, k z/0R, −→a , −→c (t? : w 3 f (0@&12<WU )V< 0,  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 2 2 k 1 1 1 − k k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = k 2 − 3k + 2 = 0. · 15 ·