Vol.27 No.3 娄依志等：非对称渐开线圆柱齿轮的动力学特性 335 是RA+elRa-Ra-t0r 6=年w= hRa-Ra-1=君 2b) 可得： 令啮合线上的位移分别为x,x,即 i+2cu+k(r)fu)=F+F@asin(@ar+o)(8) x1=R8 式中，，分别表示对t的一阶和二阶导数； (3) 2=R8 Faoasin(wa+p)为内部激励me(t)的量纲为1的形 把式(3)代入式(2a)和(2b)中，则可得 式：F,,分别为量纲为1的内部激励幅值和初始 m+c[--()]+km[(xI-x2-e(t)]=F (4) 相位网. mj+cm[--e(t)]+km[x-x2-e(t)]=-F2 f=k)u 式中，m,=R为齿轮i的当量质量，F=TR是齿 (9) 轮i上作用的啮合力，i=1,2. 式中，f为量纲为1的动载荷. 令动态传递误差和静态传递误差之差为q= 2运动方程的求解及实例分析 x-x2一(t),则式(4)可表示为： mg+c g+kng=F-me()） (5) 式(8)即为单自由度齿轮啮合的微分方程，它 式中，m=F=F+. 是量纲为1的形式方程，不依赖于具体的物理量 1.2齿轮的啮合综合刚度及动载荷 纲，只有形式上的特点，在求解分析时可以脱离 在齿轮副的连续运转过程中，随着单齿对啮 具体参数的束缚，因而具有更广泛的意义.该方 合和双齿对啮合的交替进行，轮齿的啮合刚度会 程的求解方法有解析法和数值仿真法，但是解析 随时间周期性变化，且在不同的啮合位置，每一 法非常繁杂，且往往受到所假设的激励和相应形 对啮合轮齿的啮合刚度也不相同.一般时变啮 式的限制（目前的研究均假设取为一次弦波）”. 合刚度k由平均啮合刚度k和变刚度两部分组 本文利用四阶Runge--Kuta数值仿真方法对 成，其中变刚度部分用余弦函数表示，k为变刚 该系统的动力学方程进行数值求解.为了得到比 度幅值，®为齿轮副的啮合圆周频率，a2= 较理想的结果，计算过程中采用了比较小的时间 步长，另外，考虑初始值的影响，需要将开始的数 2。,%2=12)分别指相互喷合齿轮的转速和 百个周期略去，这样才能得到效果理想的相图. 轮齿数，m,为变刚度初相位. 已知一对标准直齿圆柱齿轮传动，模数m=3 km=k+k,cos(w:1+) (6) mm,压力角a=20°，小齿轮齿数z1=23,大齿轮齿 动载荷是考虑一对齿轮的振动特性的主要 数z2=69,齿轮齿宽B=30mm,分析该对齿轮的动 指标之一，在不考虑齿轮的制造及安装误差对齿 力学特性. 轮的动载荷的影响，而只考虑轮齿的弹性变形和 而当采用非对称齿形齿轮，模数和齿数与标 啮合刚度对一对齿轮的影响，则啮合线上的动载 准齿轮相同，工作面压力角a=35°，非工作面压 荷为轮齿刚度k和弹性变形x的乘积： 力角α=20°，其他的工况特性都与标准齿轮相 f=kux (7) 同，分析该对齿轮的动力学特性 式中，为动载荷. 采用标准齿轮时，先把所给的参数进行量纲 13运动方程量纲为1化 为1化处理，得到系统的量纲为1的参数w仙=0.6， 就齿轮振动而言，在国际标准单位制下，刚 p,=0,p,-0,Fm=0.2,Fh=0.3,60.3,-0.01,初始条件 度系数通常在10'-~10'左右，阻尼比在10~10~之 (0)=0.5,0-0.5时得到系统的仿真结果如图2 间，而振动响应有时只有几个到数十个微米，方 所示. 程中各物理量相差数量级很大，所以要对方程进 采用非对称齿轮时，先把所给的参数进行 行量纲为1化处理. 量纲为】化处理，得到系统的量纲为】的参数 分别将式(6)代入式(5)中，并令q=b4,b为特 w=0.54,m,0,p,=0,F=0.18,Fh=0.26e-0.26,= 征尺寸，这里取为长度10m,t=w.通过b.和t 0.087,初始条件(00.5,0)=0.5时得到系统的 可以定义其他的应变量和参变量，√低 仿真结果如图3所示， 子zaR”nak0=点=1 o,) 标准齿轮和非对称齿轮两者对比结果如表1 所示.V匕L2 7 N 0 . 3 类 依志等 : 非 对称渐 开线 圆柱 齿轮 的动 力学特 性 一 3 3 5 L 。 认 . r 。 升 ~ 乳 丽 式2 伪忙 m L式 ,仃 , 一式 ,伪一 “ Ll) J+ , r , 、 。 , 。 , 、 , 一 乙 ` L优两 一凡伪 一 戳)rJ = -灭厂 ( Z b ) 令 啮合 线 上 的位移 分 别 为 xl , 从 , 即 ! x l 一 尺1已 t为 = R Z仇 (3 ) 把 式 (3 )代 入 式 (2 a) 和 (2 b) 中 , 则 可得 fm 禹+ ` 叶 : 一 丸一 试t) 1 + 概【x( 1 一瓜一 e (t) 1 = 名 tm燕十cm 防 : 一 岛一 试t) 」+ 瓜 xL : 一为 一 试t) 」= 一 户飞 式 中 , m `城 R/ l 为 齿 轮 i 的 当量 质 量 , 只 = 不R/ `是齿 轮 i 上 作用 的啮合 力 , i = 1 , 2 . 令 动 态 传 递误 差 和静 态 传 递误 差 之差 为 q = x 一为一 e( )t , 则 式 (4 ) 可表 示为 : m奋句碑+ 瓜叮= F 一 m e (t) ( 5 ) ~ 一 脚 , 脚 , 一 附 一 . 从 一 认 甲 。 m = — 。 尹 = — 厂 t 十 — 厂 , 。 娜一十功 Z m 一 m Z 1 .2 齿轮 的啮合 综 合刚 度及 动 载荷 在 齿轮 副 的连续 运 转过程 中 , 随 着单 齿对 啮 合和双 齿对 啮合 的交 替进 行 , 轮 齿 的啮合 刚度会 随时 间周 期性 变 化 , 且 在不 同 的啮合 位 置 , 每 一 对 啮 合轮 齿 的 啮 合 刚度 也 不相 同 . 一般 时 变啮 合 刚 度概 由平 均 啮 合 刚 度哥和 变 刚 度 两 部 分 组 成 , 其 中变刚 度 部分 用余 弦 函数 表示 , , , .k 为 变 刚 一 一 一 。 . ` ~ 一 ~ , 一 “ 一 一 一 ~ 2似 I nl 度 幅值 , 低 为齿轮 副 的啮 合 圆周频 率 , 一= 气粼 卫 - 2皿2 , n , , . 。 . 、 , 、 ~ . 一 , 。 一 _ . ` * , 卜 ~ ` 二 ~ ~ , , 创兴 卫 , in , z,( i = 1 , 2) 分 别指 相互 啮合 齿 轮 的转速 和 6 0 ” .t, 川 、 ’ ` ’ ~ z / J ,J 切 J 目 ` , 目 一 ’ 一 ” 曰 目 , “ 目 J , 嘴 ~ ` , ” 轮 齿数 , 件 为变 刚度 初相 位 . 瓜 = 形瓜e o s ( 。 。 什尹r) (6 ) 动 载 荷 是 考 虑 一对 齿 轮 的振 动特 性 的主 要 指标 之一 , 在 不考虑 齿轮 的制 造及 安装误 差对 齿 轮 的动 载荷 的影响 , 而只 考虑 轮齿 的弹性 变形 和 啮合 刚度对 一对 齿轮 的影 响 , 则啮合 线上 的动 载 荷 为 轮齿 刚度 概 和弹 性 变形x 的乘 积 : 厂= 气工 (7 ) 式 中 , 不为 动载 荷 . L 3 运动 方 程 t 纲为 1 化 就 齿轮 振动 而 言 , 在 国际标 准 单位 制下 , 刚 度 系数 通 常在 1少一 10 ,左 右 , 阻尼 比在 10 一 -4 10 一 , 之 间 , 而振 动 响应 有 时只有 几个 到 数十 个微 米 , 方 程 中各物 理 量相差 数量 级很 大 , 所 以要对 方程进 行 量纲 为 1 化处 理 . 分别 将式(6 )代入 式 (5 ) 中 , 并令 q = b 。 u , b 。 为特 征 尺寸 , 这里 取 为长 度 10 一 ` m , : = 。 0t `5 , . 通 过 b 。和: 可 以 定 义 其 他 的 应 变 量 和 参 变 量 , 。 。 一 播 , 无 田 , e 二 , 节尸 . 山八 = — . K - 一 田。 可得 : 公+ 2和+k( r班 u ) = 凡+ 凡 疏 s i n (田曲 什p 、 ) ( 8) 式 中 成 , 应分 别 表 示 对 丁 的 一 阶 和 二 阶 导 数 ; 凡 o, 知in (。 曲 什仇)为 内部激励 m试)t 的量 纲为 1的形 式 ;凡 , 尹。 分别 为 量纲 为 1 的 内部激励 幅值 和初 始 相位 , , . f = 权)r u (9 ) 式 中 , f 为 量纲 为 1 的动 载荷 . C Z m o, o 。 一 F 厂 . = 一一三一 ` - 。 尤气r夕= 一 附 D e O) o - 概 m。 若 = l枯 e o s ( . 比 什尹)F , 2 运 动 方程 的求解 及 实例 分 析 式 (8 ) 即为单 自由度 齿轮 啮合 的微 分方程 , 它 是 量纲 为 l 的形 式 方程 , 不 依赖 于 具体 的物 理量 纲 , 只 有 形式 上 的特 点 , 在求 解 分析 时 可 以脱 离 具体 参 数 的束 缚 , 因 而具 有更 广泛 的意义 . 该方 程 的求解 方法 有解析 法和 数值 仿真 法 , 但是解 析 法非 常繁 杂 , 且往往 受 到所假 设 的激励和 相应 形 式 的限制 ( 目前 的研 究均 假设 取 为一 次弦 波 l)n . 本 文利 用 四阶 凡叨g -e K厄“ a 数 值仿 真 方法 对 该系统 的动 力学 方程 进行 数值求 解 . 为 了得到 比 较 理想 的结 果 , 计算 过程 中采用 了比 较小 的时 间 步 长 . 另外 , 考虑 初始 值 的影响 , 需要 将开 始 的数 百个周 期略 去 , 这样 才 能得到 效果 理想 的相 图 . 己知 一对标 准直 齿 圆柱 齿轮 传动 , 模数 m = 3 ~ , 压 力角 a = 2 0 , 小 齿轮 齿 数 z , = 23 , 大齿 轮齿 数及 = 6 9 , 齿 轮齿 宽 B = 30 ~ , 分析 该对 齿轮 的动 力 学特 性 . 而 当采 用 非对 称齿 形齿 轮 , 模 数和 齿数 与标 准齿 轮 相 同 , 工 作面压 力 角 a = 3 50 , 非工 作 面压 力 角 a = 2 0 , 其 他 的工 况 特 性 都 与 标 准 齿 轮 相 同 , 分 析该 对 齿轮 的动 力 学特 性 . 采 用标 准齿 轮 时 , 先把 所给 的参 数进 行量 纲 为 1化 处理 , 得到 系统 的量 纲 为 1 的 参数 . 比 = 0 . 6, 仇二 0 , 件=0 , 凡= .0 2 , 凡= .0 3 , 二.0 3 , 乒0 .0 1 , 初 始条 件 u( 0) = .0 5 , 试0) =0 .5 时得 到 系统 的仿真结 果如 图 2 所 示 . 采用 非 对称 齿 轮 时 , 先 把所 给 的参 数 进 行 量 纲 为 1 化 处理 , 得 到 系 统 的量 纲 为 1 的参 数 . , = .0 54 , p 卜 =() , 尹产0 ,凡=0 . 18 ,凡=0 .2 6 , 笋.0 2 6 , 介 .0 08 7 , 初 始 条 件 u( 0) =0 . 5 , 试0) 司 . 5时 得 到 系 统 的 仿 真结 果 如 图 3 所 示 . 标准 齿轮和 非对 称 齿轮 两者对 比结 果如 表 1 所 示