氢原子中的电子运动所产生的电流密度为 J 其中在球坐标系中 0 a 而电子的波函数是 Wnm (r, 0,)=Nr,(r)P(cose)e 因为Rn1(r)和P"(cos6)是实函数,所以 Jg=0. 但是J≠0: (NR(r)Pm(coso) 2u rsin 6 ∥rSnb (NR(Pm(cos0)) ursine/nim 这个电流所产生的磁矩是(SI制) 3→ F×ea) e rsin0Jeo dF=/_ehm 2u Svan/d e =_ehm 或者写为 M:=-m 其中 2 称为Bohr磁子。它还可以表为 其中-ε/2μ称为回转磁比,或者g因子。更准确地说,这里计算的是电子的轨道磁矩,通常记为ML。 注意,我们并没有用到Rn(r)的具体形式,所以这个结果是普适的。 4.碱金属原子的能级 氢原子的能级只和量子数n有关而和l无关,这是 Coulomb势场特有的结果,原因是 Coulomb势场 勺对称性是SO(4),比一般中心力场的对称性SO(3)高。与氢原子的情况类似的是碱金属原子,它也只 有一个价电子。但是碱金属中的价电子是在原子实(即原子核加上内壳层电子)的作用下运动,它受到 的势场不再是 Coulomb势场,所以碱金属原子的能级与n,l都有关: E=E 能级的简并度回到2/+1。举例来说,在Na原子中,主量子数n=1,2的状态都被内壳层电子填满,所 以价电子的最小主量子数是n=3。对于这些状态,能量的高低顺序是 E2<E< E3r 当然,只要原子没有受到外磁场的作用,它的能量总是和量子数m无关的。 μ子原子,电子偶素,正电子湮灭 作业:习题53;54,56;583 氢原子中的电子运动所产生的电流密度为 i ( ) ( ), 2 e J e        = −  −  其中在球坐标系中 1 1 , sin r e e e r r r          = + +    而电子的波函数是 i ( , , ) ( ) (cos ) . e m m nlm nl l r NR r P      = 因为 ( ) R r nl 和 (cos ) m Pl  是实函数，所以 0. er e J J = =  但是 0 e J   ： ( ) i i 2 i i i 1 ( ) ( ) (cos ) 2 sin e e e e m m m m m e nl l J e N R r P r           − −     = − −       ( ) 2 2 ( ) (cos ) . sin sin m nl l nlm e e m N R r P m r r       = − = − 这个电流所产生的磁矩是（ SI 制） 1 1 1 1 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 M r J d r r e J d r r e e J d r r e J d r =  =  =  = −     e e r e e       1 3 3 2 sin , 2 2 2 z e nlm z z e m e m e r J d r d r e e        = = − = −       或者写为 B , M m z = −  其中 B , 2 e   = 称为 Bohr 磁子。它还可以表为 , 2 z z e M L  = − 其中 −e /2 称为回转磁比，或者 g 因子。更准确地说，这里计算的是电子的轨道磁矩，通常记为 ML 。 注意，我们并没有用到 ( ) R r nl 的具体形式，所以这个结果是普适的。 4. 碱金属原子的能级 氢原子的能级只和量子数 n 有关而和 l 无关，这是 Coulomb 势场特有的结果，原因是 Coulomb 势场 的对称性是 SO(4)，比一般中心力场的对称性 SO(3) 高。与氢原子的情况类似的是碱金属原子，它也只 有一个价电子。但是碱金属中的价电子是在原子实（即原子核加上内壳层电子）的作用下运动，它受到 的势场不再是 Coulomb 势场，所以碱金属原子的能级与 n, l 都有关： , E E = nl 能级的简并度回到 2 1 l + 。举例来说，在 Na 原子中，主量子数 n = 1, 2 的状态都被内壳层电子填满，所 以价电子的最小主量子数是 n = 3 。对于这些状态，能量的高低顺序是 E3S  E3P  E3D . 当然，只要原子没有受到外磁场的作用，它的能量总是和量子数 m 无关的。 *5.  子原子，电子偶素，正电子湮灭 作业：习题 5.3; 5.4; 5.6; 5.8