角量子数l=0,1…,n-1,→L2=1(+1)h2, 磁量子数m=1l-1…-1,→L2=mh 对应的波函数是 m (r, 8,)=R,,(r)rm(e,), 其中 R,(r) n/(r) 1(P)e 2uk, ze Nn是归一化常数,使得 SIvnim(,, p)2 sin e dre 在vmn(F,,q)=Rn1(r)ymn(6,q)的时候,考虑到Ymn(6,q)本身已经(对4x立体角)归一化,所以归 化条件又变为 IRn/(r)Prdr=lun(r)pdr 定义 0.53A称为Bohr半径 那么 2Z 特殊地说让我们考虑氢原子(Z=1)。它的能级又可以借助于a表示为 k a n 所以氢原子的基态能量是 k ≈-13.6eV F就是基态氢原子的电离能。氢原子的头两个能级(=1,2)的波函数是: rla=-e-rla Yoo(0, ) re-r/2e 0(6,) 1m(6,q).(m=1,0,-1) 在原子物理中,状态(m,l,m)被记为nL,其中用S,P,D,F,……表示l=0,1,2,3,…,例如lS,2S,2P,3S 3P.3D.4S.4P4D.4F 根据Vra定理,氢原子的~r1,所以 |/2=-T=E 我们知道,氢原子能级的“量子化”是首先在实验上发现的。Bohr模型虽然能给出这个结果,却包 含了许多自身无法解释的假设。在 de broglie的粒子波动假说提出以后, Schrodinger重新考虑了这个问 题。他发现,离散“本征值”的出现在波动问题当中其实是很常见的,所以他萌发了一个思想,即“作 为本征值问题的能量量子化”,而这就导致了他提出了氢原子的能量本征方程并成功地给出了氢原子能 级的正确结果。这就是定态 Schrodinger方程的最初起源,实际上它还早于含时间的 Schrodinger方程 3.氢原子的磁矩2 角量子数 2 2 l n L l l = − → = + 0,1, , 1, ( 1) , 磁量子数 , 1, , , . m l l l L m = − − → =z 对应的波函数是  ( ,,) ( ) (,), nlm nl Ylm r = R r 其中 , ( ) ( ) r u r R r nl nl = 1 2 1 / 2 1 ( ) ( )e , l l nl nl n l u r N L    + + − = − − 2 1 2 2 1 , k Ze r n     = = , Nnl 是归一化常数，使得 | ( , , )| sin 1. 2 2 =   nlm r   r  drd d 在  ( ,,) ( ) (,) nlm nl Ylm r = R r 的时候，考虑到 (,) Ylm 本身已经（对 4 立体角）归一化，所以归 一化条件又变为 | ( ) | | ( ) | 1. 0 2 0 2 2 = =     R r r dr u r dr nl nl 定义 2 2 1 a 0.53 k e =  Å 称为 Bohr 半径, 那么 a r n 2Z  = . 特殊地说让我们考虑氢原子 (Z = 1) 。它的能级又可以借助于 a 表示为 , 1 2 2 2 1 a n k e En = − 所以氢原子的基态能量是： = −  − a k e E 2 2 1 1 13.6 eV, E1 就是基态氢原子的电离能。氢原子的头两个能级 (n = 1,2) 的波函数是： / / 100 00 3 3 1 2 e e ( , ), r a r a Y a a     − − = = / 2 200 00 3 1 1 e ( , ), 2 2 r r a Y a a      − = −     / 2 21 1 3 1 e ( , ). ( 1,0, 1) 2 6 r a m m r Y m a a      − = = −     在原子物理中，状态 (n,l,m) 被记为 nL ，其中用 S, P, D, F,  表示 l = 0, 1, 2, 3, ，例如 1S, 2S, 2P, 3S, 3P, 3D, 4S, 4P, 4D, 4F,  。根据 Virial 定理，氢原子的 1 V r − ，所以 | | / 2 . V T E = − = 我们知道，氢原子能级的“量子化”是首先在实验上发现的。Bohr 模型虽然能给出这个结果，却包 含了许多自身无法解释的假设。在 de Broglie 的粒子波动假说提出以后，Schrödinger 重新考虑了这个问 题。他发现，离散“本征值”的出现在波动问题当中其实是很常见的，所以他萌发了一个思想，即“作 为本征值问题的能量量子化”，而这就导致了他提出了氢原子的能量本征方程并成功地给出了氢原子能 级的正确结果。这就是定态 Schrödinger 方程的最初起源，实际上它还早于含时间的 Schrödinger 方程。 3. 氢原子的磁矩