§54氢原子和类氢离子 1.径向方程的解 氢原子或类氢离子的核电荷是Ze(Z是原子序数),核外有一个电子,所以势能是: V(r) 其中 (4z0)-,(SI (CGS) 所以约化的径向方程是 e+ A2e2)2 其中约化质量μ略小于电子质量,对于不同的原子核也略有不同 对于束缚态,E<0。定义一个无量纲的新自变量 SHEI p=ar, a= 方 以及一个无量纲的新参数 Z n veL 则方程成为 1元l(+1) l=0. d 容易看出在p→∞时(p)→eP2(e"2要舍去),在p→0时(p)→p+(p-要舍去),所以可设 u(p)=p/*e"p/v(p),(v(0)#0) 则v(p)满足方程 c h +(2/+2-p d+(2-1-1)v 0 我们发现,这又是合流超几何方程,所以v(p)有多项式解的条件是 -1-1=n,(n2=0,1,2,…) 也就是 n++1=n,(n=l+1,l+2,…) 而v(p)是缔合 Laguerre多项式Ln+1(p)。 2.氢原子和类氢离子的能级和波函数 由于 dshE h v-2E 所以类氢离子的能级是 =~∠k2ze1 (n=1,2,3,…) 它只和n有关,所以对l和m是简并的,简并度是: 1) +1)=n 能量本征态由量子数(m,l,m)表征,它们的意义是 主量子数n=1,2,3,…, E=E1 §5.4 氢原子和类氢离子 1. 径向方程的解 氢原子或类氢离子的核电荷是 Ze ( Z 是原子序数)，核外有一个电子，所以势能是： 2 1 ( ) , k Ze V r r = − 其中 1 0 1 (4 ) , (SI) 1, (CGS) k  −  =   所以约化的径向方程是 2 2 1 2 2 2 2 ( 1) 0. d u k Ze l l E u dr r r      + + + − =         其中约化质量  略小于电子质量，对于不同的原子核也略有不同。 对于束缚态， E  0 。定义一个无量纲的新自变量 8 , , E r     = = 以及一个无量纲的新参数 2 1 , 2 k Ze E   = 则方程成为 2 2 2 1 ( 1) 0. 4 d u l l u d       + + − + − =     容易看出在  → 时 / 2 u( ) e   → − ( /2 e  要舍去)，在  → 0 时 1 ( ) l u   → + ( −l  要舍去)，所以可设 1 / 2 ( ) e ( ), ( (0) 0) l u v v     + − =  则 v() 满足方程 2 2 (2 2 ) ( 1) 0. d v dv l l v d d      + + − + − − = 我们发现，这又是合流超几何方程，所以 v ( )  有多项式解的条件是 1 , ( 0,1, 2, ) r r  − − = = l n n 也就是 1 , ( 1, 2, ) r  = + +  = + + n l n n l l 而 v ( )  是缔合 Laguerre 多项式 ( ) 2 1 1  + − − l Ln l 。 2. 氢原子和类氢离子的能级和波函数 由于 2 1 , 2 k Ze n E   = = − 所以类氢离子的能级是 2 2 4 1 2 2 1 , ( 1,2,3, ) 2 n k Z e E n n  = − = 它只和 n 有关，所以对 l 和 m 是简并的，简并度是： (2 1) . 2 1 0 g l n n l n =  + = − = 能量本征态由量子数 ( , , ) n l m 表征，它们的意义是： 主量子数 1,2,3, , , n n E E = → =