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第5期 周双红，等：多特征值分解的稀疏混沌信号盲源分离算法研究 ·845· 式中，B是分离矩阵，P(S)是重构第i个信道源 5)应用粒子群算法优化式(14)直到满足终止 ,()的增长指数，约束条件E[())=I确保获得 条件，记录优化粒子位置0pr; 的每个信道分离信号（①与其他求解分离信号 6)输出重构的源信号y(①=B。(0,B为分离 $()的解空间正交。 矩阵。 3盲源分离算法的过程 4仿真实验 前一节中生长指数的性质1是在观测序列为 本节将通过仿真实验来评估盲源分离算法的 零均值时成立的，因此首先要对观测信号进行均 性能。源信号通过式(1)产生混合信号，混合矩 值去除： A的元素在每次仿真中通过服从[-1,1]独立均匀分 ,(t)=x(t)-E[x(t)],i=1,2,…,n (11) 布随机数产生。盲源分离算法的精度将通过性能 生长指数的性质2还要求信号序列彼此不相 指标PI来测量： 关，这可以通过预白化观测信号来实现。假设 x(①自相关矩阵特征分解为E[x(0x')=Q∑QF,其 PI= n(n-1) 中，Q是正交矩阵，Σ是对角矩阵，那么W=Σ-1Q (15) 称为白化矩阵，在线性变换(0=Wx()后，()的每 个分量彼此不相关。 式中g为G=BWA的元素，PI越小越好，当G满 通过Cayley变换，任意n阶正交矩阵可以被 足式(6)时，PI得到最小值0。 分解为一系列旋转矩阵的乘积，并且包含要表示的 仿真实验中使用的4个源信号分别由Rossler mn-1)/2个参数的参数向量0=0，.…，0r-1wlo。 吸引子式(16)、洛伦兹吸引子式(17)、Duffing吸 引子式(18)和Mackey-Glass吸引子式(19)产生， 这种方法可以减少要优化的参数，从而显著提 前3个信号通过4阶龙格库塔法积分得到，积分 高算法的收敛速度和鲁棒性。本节后续部分采用 步长分别为0.05、0.05、0.01，信号的长度为500s, 以下形式的参数化矩阵来表示2阶和3阶正交矩阵： 如图2所示。利用4个信号组成如表1所示的三 Bi cos -sin (12) 通道混合信号和双通道混合信号，用于测试盲源 sine cos0 [1 0 分离效果的。 0 cos 6 0 -sin62 B3x3= 0 cos -sin 0 1 0 0 sin cos sin20 cos I *0 -50wM4 cos -sin 0 050100150200250300350400450500 sin cos 0 时间s 0 0 1 (a)Rossler吸引子 (13) 50 六ON洲NMM 式中0，∈[0,2为参数向量。用参数表示，式(10) -50 050100150200250300350400450500 可以转换为无约束的优化问题： 时间s max{P.(Sx.i)+P.(s.2)+…+P(S-i)h,0∈[0,2π (b)Lorenz吸引子 (14) 50 式中i=1,2,…,n(n-1)/2。 ×0 MWAWAWMAWN福WWAWW -50 对于非约束优化问题，粒子群优化算法是一 050100150200250300350400450500 时间s 种非常有效的方法。将参数向量视为粒子位置， (c)Duffing吸引子 将目标函数式(14)视为适应度函数，可以使用粒 50 子群优化算法估计最优分离矩阵，以重构每个信 0 -50 道源信号。整个算法过程为： 0 50100150200250300350400450500 时间s 1)观测信号x(t)去均值； (d)Mackey-Glass吸引了 2)预白化观测信号x(0,得(0)： 3)使用[0,2π上均匀分布的随机数初始化每 图2源信号波形 Fig.2 source signal waveform 个粒子的初始位置： 表1测试信号组 4)对于每个粒子，根据式(11)、(12)、(13)计算 Table 1 Test signal grouping 分离矩阵B,根据式(3)计算分离信号，根据式 第一组信号 Rossler、Lorenz、Duffing (5)实现相位空间重构；根据式(7)(9)计算适度 函数值； 第二组信号 Mackey-Glass,DuffingB Pσ(ςsˆ,i) i sˆi(t) E [ sˆ(t)sˆ T (t) ] = I sˆi(t) sˆj(t) 式中， 是分离矩阵， 是重构第 个信道源 的增长指数，约束条件 确保获得 的每个信道分离信号 与其他求解分离信号 的解空间正交。 3 盲源分离算法的过程 前一节中生长指数的性质 1 是在观测序列为 零均值时成立的，因此首先要对观测信号进行均 值去除： xi(t) = xi(t)− E [xi(t)], i = 1,2,··· ,n (11) x(t) E [ x(t)x T (t) ] = QΣQ T Q Σ W =Σ−1/2Q T x˜(t) = W x(t) x˜(t) 生长指数的性质 2 还要求信号序列彼此不相 关，这可以通过预白化观测信号来实现。假设 自相关矩阵特征分解为 ，其 中， 是正交矩阵， 是对角矩阵，那么 称为白化矩阵，在线性变换 后， 的每 个分量彼此不相关。 n n(n−1)/2 θ = {θ1,θ2,··· ,θn(n−1)/2} 通过 Cayley 变换，任意 阶正交矩阵可以被 分解为一系列旋转矩阵的乘积，并且包含要表示的 个参数的参数向量 [10]。 这种方法可以减少要优化的参数，从而显著提 高算法的收敛速度和鲁棒性。本节后续部分采用 以下形式的参数化矩阵来表示 2 阶和 3 阶正交矩阵： B2×2 = [ cosθ1 −sinθ1 sinθ1 cosθ1 ] (12) B3×3 = 1 0 0 0 cosθ1 −sinθ1 0 sinθ1 cosθ1 cosθ2 0 −sinθ2 0 1 0 sinθ2 0 cosθ2 · cosθ3 −sinθ3 0 sinθ3 cosθ3 0 0 0 1 (13) 式中 θi ∈ [0,2π] 为参数向量。用参数表示，式 (10) 可以转换为无约束的优化问题： max{Pσ(ςy,1)+ Pσ(ςy,2)+···+ Pσ(ςy,n−1)},θi ∈ [0,2π] (14) 式中 i = 1,2,··· ,n(n−1)/2。 对于非约束优化问题，粒子群优化算法是一 种非常有效的方法。将参数向量视为粒子位置， 将目标函数式 (14) 视为适应度函数，可以使用粒 子群优化算法估计最优分离矩阵，以重构每个信 道源信号。整个算法过程为： 1) 观测信号 x(t) 去均值； 2) 预白化观测信号 x(t) ，得 x˜(t) ； 3) 使用 [0,2π] 上均匀分布的随机数初始化每 个粒子的初始位置； 4) 对于每个粒子，根据式 (11)、(12)、(13) 计算 分离矩阵 B，根据式 (3) 计算分离信号，根据式 (5) 实现相位空间重构；根据式 (7)~(9) 计算适度 函数值； 5) 应用粒子群算法优化式 (14) 直到满足终止 条件，记录优化粒子位置 θopt； 6) 输出重构的源信号 y(t)=B x˜(t) opt ，Bopt 为分离 矩阵。 4 仿真实验 本节将通过仿真实验来评估盲源分离算法的 性能。源信号通过式 (1) 产生混合信号，混合矩 A 的元素在每次仿真中通过服从[-1,1]独立均匀分 布随机数产生。盲源分离算法的精度将通过性能 指标 PI 来测量： PI = 1 n(n−1) ∑n i=1 ∑n j=1 gi j 2 maxk |gik| 2 + ∑n j=1 ∑n i=1 gi j 2 maxk gk j 2 (15) 式中 gij 为 G = BW A 的元素，PI 越小越好，当 G 满 足式 (6) 时，PI 得到最小值 0。 仿真实验中使用的 4 个源信号分别由 Rossler 吸引子式 (16)、洛伦兹吸引子式 (17)、Duffing 吸 引子式 (18) 和 Mackey-Glass 吸引子式 (19) 产生， 前 3 个信号通过 4 阶龙格库塔法积分得到，积分 步长分别为 0.05、0.05、0.01，信号的长度为 500 s， 如图 2 所示。利用 4 个信号组成如表 1 所示的三 通道混合信号和双通道混合信号，用于测试盲源 分离效果的。 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −50 0 50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −50 0 50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −50 0 50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 −50 0 50 (a) Rossler 吸引子 (b) Lorenz 吸引子 (c) Duffing 吸引子 时间/s 时间/s 时间/s 时间/s (d) Mackey-Glass 吸引子 x x x x 图 2 源信号波形 Fig. 2 source signal waveform 表 1 测试信号组 Table 1 Test signal grouping 第一组信号 Rossler、Lorenz、Duffing 第二组信号 Mackey-Glass、Duffing 第 5 期 周双红，等：多特征值分解的稀疏混沌信号盲源分离算法研究 ·845·