-39-10155031 2-51 31000 000 入1a1+1a2+λa3=0有非零解,所以{a,a2,a3}线性相关 总之,{a1,a2}是{a1,a2a3}的一个极大线性无关组 3.设(Ⅱ):{a1 a}是向量空间V的一个向量组,并且(Ⅱ)的秩是r,(Ⅲ):{a,a2…,a 是(Ⅱ)的一个部分组,如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出,则(Ⅲ是(Ⅱ)的一个极大线性无关组 证:如果(Ⅱ)能由(D线性表出,则(Ⅱ)的秩小于等于(ⅢD的秩,而()的秩是r,从 而(ⅢD的秩大于等于r,又因为(ⅢD)一共有r个向量,所以(ⅢD的秩为r,故(ID线性无关.由 极大线性无关组的条件知,(Ⅲ是(Ⅲ)的一个极大线性无关组 4.设(Ⅱ):{a,a2…,a是F的一个向量组,证明:如果n维单位向量组{en,E2,…t}能由 (Ⅱ)线性表出,则(Ⅱ)是F的一个基. 证:因为n维单位向量组{e,e,…e}的秩是n,如果{ε,ε,…ε}能由(Ⅱ)线性表出, 则(Ⅱ)的秩大于等于n,而(Ⅱ)只有n个向量,所以(I)的秩等于n,故()线性无关.从 而(Ⅱ)是F的一个基 5.设(Ⅱ),(I是子空间V的两个向量组.证明:如果(Ⅱ)能由(ⅢD线性表出,并且如果(Ⅱ) 的秩等于(ID的秩,则Span(I)=Span(I 证因为(Ⅱ)能由(Ⅲ线性表出,所以Span(Ⅱ) CSpan(Ⅲ),又由(Ⅱ)的秩等于(I)的 秩得,dim(Span())=dim(Span(Ⅲ),从而Span(Ⅱ)=Span(ⅢD) 6.设A是m×n矩阵,(Ⅲ):{β3,β2,…,β}是F的(列)向量组 ①证明:如果(Ⅲ)线性相关,则向量组(Ⅲ):{AB1,AB3,…,A}线性相关 ②证明:(Ⅲ)的秩<(Ⅱ)的秩 ③证明:如果A可逆(这时mn),则(ID的秩=(I)的秩 证①如果(Ⅱ)线性相关,则存在不全为零的数k,k,…,k,使 kB2+k2+…+k=0 从而kAB1+k24B2+…+kAB=A(kB1+k2+…+kB)=0 说明(Ⅲ):{AB,AB2,…,AB线性相关 ②设(Ⅱ)的秩为r,则(Ⅱ)中任意r+1个向量必线性相关,类似①的证明知,(Ⅲ的任 意r+1个向量也线性相关,从而(ID的秩≤r. ③如果A的逆,则将{AB,AB2…,AB看作②中的(Ⅱ),将{AAB,AAB,…,AAB} 看作②中的(ⅢD,将A看作①A,同理可证{AAB1,AAB,…,AAB的秩≤{AB1,AB2…,AB 的秩,即(Ⅲ)的秩≤(的秩.结合②得(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩 习题4.5 1.设A是一个m×n矩阵,W={Aa|a∈F.证明:如果A的列秩是r,则dim(W)=r k 证将A的个列向量记分别为,,…,,对于任意a∈F,c4 A=kB1+kB2+…+kBa 说明W=Span(,B,…,B),所以dm(W)=rank(β,B2,…,B)=r          1 4 0 2 5 1 3 9 1 1 2 2 →         0 6 2 0 9 3 0 15 5 1 2 2 →       0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 2 λ1α1+λ2α2+λ3α3=0 有非零解，所以{α1, α2,α3}线性相关． 总之，{α1, α2}是{α1, α2,α3}的一个极大线性无关组． 3.设(Ⅱ)：{α1, α2,…,αs}是向量空间V的一个向量组，并且(Ⅱ)的秩是r，(Ⅲ)：{α1, α2,…,αr} 是(Ⅱ)的一个部分组，如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，则(Ⅲ)是(Ⅱ)的一个极大线性无关组． 证：如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，则(Ⅱ)的秩小于等于(Ⅲ)的秩，而(Ⅱ)的秩是 r，从 而(Ⅲ)的秩大于等于 r，又因为(Ⅲ)一共有 r 个向量，所以(Ⅲ)的秩为 r，故(Ⅲ)线性无关．由 极大线性无关组的条件知，(Ⅲ)是(Ⅱ)的一个极大线性无关组． 4. 设(Ⅱ)：{α1, α2,…,αn}是 F n的一个向量组，证明：如果 n 维单位向量组{ε1, ε2,…εn}能由 (Ⅱ)线性表出，则(Ⅱ)是 F n的一个基． 证：因为 n 维单位向量组{ε1, ε2,…εn}的秩是 n，如果{ε1, ε2,…εn}能由(Ⅱ)线性表出， 则(Ⅱ)的秩大于等于 n，而(Ⅱ)只有 n 个向量，所以(Ⅱ)的秩等于 n，故(Ⅱ)线性无关．从 而(Ⅱ)是 F n的一个基． 5.设(Ⅱ)，(Ⅲ)是子空间 V 的两个向量组．证明：如果(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，并且如果(Ⅱ) 的秩等于(Ⅲ)的秩，则 Span(Ⅱ)=Span(Ⅲ)． 证 因为(Ⅱ)能由(Ⅲ)线性表出，所以 Span(Ⅱ)⊆Span(Ⅲ)，又由(Ⅱ)的秩等于(Ⅲ)的 秩得，dim(Span(Ⅱ))=dim(Span(Ⅲ)),从而 Span(Ⅱ)=Span(Ⅲ)． 6.设 A 是 m×n 矩阵，(Ⅱ)：{β1, β2,…, βt}是 F n的（列）向量组． ① 证明：如果(Ⅱ)线性相关，则向量组（Ⅲ）：{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}线性相关． ② 证明：(Ⅲ)的秩≤(Ⅱ)的秩． ③ 证明：如果 A 可逆（这时 m=n），则(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩． 证 ① 如果(Ⅱ)线性相关，则存在不全为零的数 k1, k2,…, kt,使 k1β1+k2β2+…+ktβt=0 从而 k1Aβ1+k2Aβ2+…+ktAβt=A(k1β1+k2β2+…+ktβt)=0 说明（Ⅲ）：{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}线性相关． ② 设(Ⅱ)的秩为 r,则(Ⅱ)中任意 r+1 个向量必线性相关，类似①的证明知，(Ⅲ)的任 意 r+1 个向量也线性相关，从而(Ⅲ)的秩≤r． ③ 如果 A 的逆，则将{Aβ1,Aβ2,…,Aβt}看作②中的（Ⅱ），将{A -1Aβ1, A -1Aβ2,…, A -1Aβt} 看作②中的(Ⅲ)，将 A -1看作①A，同理可证{A -1Aβ1, A -1Aβ2,…, A -1Aβt}的秩≤{Aβ1,Aβ2,…,Aβt} 的秩，即(Ⅱ)的秩≤(Ⅲ)的秩．结合②得(Ⅲ)的秩=(Ⅱ)的秩． 习题 4.5 1.设 A 是一个 m×n 矩阵，W={Aα|α∈F n}．证明：如果 A 的列秩是 r，则 dim(W)=r． 证 将 A 的 n 个列向量记分别为β1，β2，…，βn，对于任意α∈F n，α=       n k k k  2 1 ， Aα=k1β1+ k2β2+…+ knβn 说明 W=Span(β1，β2，…，βn)，所以 dim(W)=rank(β1，β2，…，βn)=r