第五章矩阵的相似变换 §5.1矩阵的特征值与特征向量 定义:对于n阶方阵A,若有数元和向量x≠0满足Ax=x,称为A的 特征值,称x为A的属于特征值λ的特征向量 特征方程:Ax=Ax分(A-孔E)x=0或者(AE-A)x=0 E)x=0有非零解兮det(-E)=0 det(aE-A)=0 特征矩阵:A-E或者E-A 12 特征多项式:q(1)=det(A-E)= "+a1x 例1求A=212的特征值与特征向量 22 解q(A)=21-元2|=(5-4)(2+1) q()=0→1=5,12=13=-1 求1=5的特征向量: A-5E=2-42→01 P 22-4100 kP1(k1≠0)1 第五章 矩阵的相似变换 §5.1 矩阵的特征值与特征向量 定义： 对于 n 阶方阵 A , 若有数  和向量 x  0 满足 Ax =  x , 称  为 A 的 特征值, 称 x 为 A 的属于特征值  的特征向量． 特征方程： Ax =  x  (A− E)x = 0 或者 (E − A)x = 0 (A −  E)x = 0 有非零解  det(A − E) = 0  det( E − A) = 0 特征矩阵： A −  E 或者  E − A 特征多项式：       − − − = − = n n nn n n a a a a a a a a a A E        1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) det( ) [ ( 1) ] 1 0 1 0 1 n n n n n = a + a + + a − + a a = − −     例 1 求           = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A 的特征值与特征向量． 解 2 (5 )( 1) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ( ) = − + − − − =        () = 0  1 = 5, 2 = 3 = −1 求 1 = 5 的特征向量：           − − − − = 2 2 4 2 4 2 4 2 2 A 5E           − − → 0 0 0 0 1 1 1 0 1 行 ,           = 1 1 1 1 p ( 0) x = k1 p1 k1 