习题1.1解答 1.下列数集哪些是数域?哪些是数环?哪些既非数域也非数环? 1)所有正实数所成的集合 2)所有偶数(或奇数)构成的集合 3)某个整数a的所有整数倍所成的集合 4)F={a+b2b∈Q 解1)所有正实数所成的集合对减法不封闭,所以不是数环,当然也非数域 2)所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭,所以是数环:但对除法不封闭,所以不 是数域 3)某个整数a的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭,所以是数环;但对除法 不封闭,所以不是数域 4)在F={a+b2ab∈g}中取2,显然v2×V2eF,即对乘法不封闭,所以F 不是数环,当然也非数域 2证明:两个数域的交是一个数域 解设A,B是两个数域,则0,1∈A,0,1∈B,从而0,1∈A∩B;对任意xy∈A∩B, 有xy∈A和xy∈B,从而x+y∈A,xy∈A,x×y∈A,x÷y∈A(对y≠0),同样也有x+y ∈B,xy∈B,xxy∈B,x÷y∈B(对y≠0),所以xy∈AnB,xy∈AnB,x×y∈An B,x÷y∈A∩B(对y≠0),故A∩B是数域 3’证明:F={a+biab∈Q}(i是虚单位)是一个数域 解显然0=0+0i∈F,1=1+0i∈F;对任意a+ bi.c+di∈F,有(a+bi)+(+di)=(a+c)+(bdi∈F, (abi)-(c+di)=(a-c)+(bd)i∈F,(a+bi)×(c+di)=ac-bd+(ad+bci∈F,若c+di≠0,则 (a+bi)(+di(a+bi(c-di)ac+bd.(cb-ad) i∈F.所以F是数域. 证明:G={a+ bila, b∈Z}是数环而不是数域 解对任意a+bic+di∈G,有(a+bi)(c+di)=(ac)+(b+d)∈G,(a+bi)(c+di)=ac)+(b-d)i ∈G,(a+bi)×(+di)=ac-bd)+(ad+bci∈G,所以G是数环.数1=1+0i∈G,2=2+0i∈G,2 ≠0,但1÷2gG,所以G不是数域 习题1.2解答 1用行的初等变换,将下列矩阵化为行最简形 10 2141 3375习题 1.1 解答 1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？ 1）所有正实数所成的集合． 2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数 a 的所有整数倍所成的集合． 4）F={ a  b 2 a,b Q 3 }． 解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域． 2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不 是数域． 3）某个整数 a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法 不封闭，所以不是数域． 4）在 F={ a  b 2 a,b Q 3 } 中取3 2 ，显然 3 2 × 3 2 F，即对乘法不封闭，所以 F 不是数环，当然也非数域． 2.证明：两个数域的交是一个数域． 解 设 A，B 是两个数域，则 0,1∈A，0,1∈B，从而 0,1∈A∩B；对任意 x,y∈A∩B， 有 x,y∈A 和 x,y∈B，从而 x+y∈A，x-y∈A，x×y∈A，x÷y∈A（对 y≠0），同样也有 x+y ∈B，x-y∈B，x×y∈B，x÷y∈B（对 y≠0），所以 x+y∈A∩B，x-y∈A∩B，x×y∈A∩ B，x÷y∈A∩B（对 y≠0），故 A∩B 是数域． 3 * .证明：F={a+bi|a,b∈Q}（i 是虚单位）是一个数域． 解 显然 0=0+0i∈F，1=1+0i∈F；对任意 a+bi,c+di∈F，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈F， (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈F，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈F，若 c+di≠0，则 (a+bi)÷(c+di)= i F c d cb ad c d ac bd c d a bi c di           2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ．所以 F 是数域． 4* .证明：G={a+bi|a,b∈Z}是数环而不是数域． 解 对任意 a+bi,c+di∈G，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈G，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈G，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i∈G，所以 G 是数环．数 1=1+0i∈G，2=2+0i∈G，2 ≠0，但 1÷2G，所以 G 不是数域．习题 1.2 解答 1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形． ①        3 1 2 2 1 3 1 1 0 ②       5 0 6  2 3 3 7 5 2 1 4 1 1 2 3 2