第二章随机过程的一般概念 2.1随机过程的基本概念和例子 定义21.1:设(2,P)为概率空间,T是某参数集,若对每一个t∈T,X(t,) 是该概率空间上的随机变量,则称X(t,w)为随机过程 Stochastic Process 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。随机过程X(,w)可 以看成定义在T×上的二元函数,固定w0∈g,即对于一个特定的随机试验, 称X(t,0)为样本路径( Sample Path),或实现( realization),这是通常所观测到的 过程;另一方面,固定to∈T,ⅹ(o,w)是一个随机变量,按某个概率分布随机 取值。 抽象一点:令R=∏R,即R中的元素为X,=(x,1∈T),3(R)为其Borl 域(插乘σ域),随机过程实质上是(92列)到(R!,a(R)上的一个可测映射,在 (R,a(R)上诱导出一个概率测度P B∈B(R),P(B)=P(Xx∈B) 般t代表的是时间。根据参数集T的性质,随机过程可以分为两大类 l)T为可数集,如T=01.2…}或T={…-10.1…,称为离散参数随机 过程,也称为随机序列 2)T为不可数集,如=≥0或T={-∞<1<},称为连续参数随机 过程 随机过程X(),t∈T的取值称为过程所处的状态( State),所有状态的全体称 为状态空间( State Space)。通常以S表示随机过程的状态空间。根据状态空间的 特征,一般把随机过程分为两大类 l)离散状态,即X(1)取一些离散的值; 2)连续状态,即(1)的取值范围是连续的。第二章 随机过程的一般概念 2.1 随机过程的基本概念和例子 定义 2.1.1：设(Ω, F, P)为概率空间，T 是某参数集，若对每一个 ， 是该概率空间上的随机变量，则称 为随机过程(Stochastic Process)。 t ∈T X (t, w) X (t, w) 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。随机过程 可 以看成定义在 X (t, w) T × Ω上的二元函数，固定 w0 ∈Ω ，即对于一个特定的随机试验， 称 为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的 过程；另一方面，固定 ， 是一个随机变量，按某个概率分布随机 取值。 ( , ) w0 X t t0 ∈T ( , ) X t0 w 抽象一点：令 ∏ ，即 ∈ = t T T R R T R 中的元素为 X (x ,t T) t = t ∈ , 为其 Borel 域(插乘 ( ) T B R σ 域)，随机过程实质上是 (Ω,F) 到 ( , ( )) T T R B R 上的一个可测映射，在 ( , ( )) T T R B R 上诱导出一个概率测度 PT ： B R P B P(X B) T T T ∀ ∈B ( ), ( ) = ∈ 。 一般t 代表的是时间。根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： 1) T 为可数集，如T = {0,1,2,L}或T = {L,−1,0,1,L}，称为离散参数随机 过程，也称为随机序列； 2) T 为不可数集，如T = {t t ≥ 0}或T = {t − ∞ < t < ∞}，称为连续参数随机 过程。 随机过程 的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称 为状态空间(State Space)。通常以 表示随机过程的状态空间。根据状态空间的 特征，一般把随机过程分为两大类： X (t),t ∈T S 1) 离散状态，即 X (t)取一些离散的值； 2) 连续状态，即 X (t)的取值范围是连续的。 1