高等數学复习公式 全微分:d=dx+dy du=dx+dy+dz 全微分的近似计算:4≈d=f(x,y)Ax+f(x,y)Ay 多元复合函数的求导法: dz a au a- 二=f[(),v(t) dt au at av at ==fLu(x,y),v(x, y)] ax 当u=l(x,y),v=v(x,y时 ov 隐函数的求导公式 隐函数F(x,y)=0,dF2 d2ya,F、0,F、dy dx f dx2 隐函数F(x,y,z)=0, aFaF 隐函数方程组:(x,y,4,)=0 IG(,y, u,v)=0 Ou 1 a(F,G) Ov 1 aF, G ax a(x,v J a(u,x) I a(F,G) av 1 a(F,G) J a,v) 微分法在几何上的应用 x=o(t 空间曲线y=v(0)在点M(xy3,=0)处的切线方程:=0=50 ==o(1) 在点M处的法平面方程:q(t0(x-x0)+v(t0y-y)+o(t0(-=0)=0 若空间曲线方程为 x/=0则切向量7=! Fr FIF FIlF F F(x,y,z)=0 G.PG.G 曲面F(x,y,)=0上一点M(x0,y0,=0),则: l、过此点的法向量:万={F(x0y0,=0),F(x0,y,0,F(x,y,=0) 2、过此点的切平面方程:F(x0y2=0x-x)+F(x,y2y-y)+F(x,y,-ax-)=0 3、过此点的法线方程 x-x F(x0,y0,20)F,(x0,y2=0)F(x0,y=0) 方向导数与梯度 第6页共15页高等数学复习公式 第 6 页 共 15 页 z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = −   = −   = −    −   = = − =   +   =   +   = = =      +      =   =      +      = =   =  +    +   +   =   +   = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v   = −      = −      = −      = −    =         =   =    = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z − = − = − − + − + − = = =     = = =  − +  − +  − =  − =  − =  −      = = = 、过此点的法线方程： 、过此点的切平面方程： 、过此点的法向量： 曲面 上一点 ，则： 若空间曲线方程为： 则切向量 在点 处的法平面方程： 空间曲线 在点 处的切线方程：            方向导数与梯度：