第一节定积分在几何学上的应用 、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a与 y=f(r) b(a<b)与x轴所围成的曲边梯形面积A A= f(rdx 其中:f(x)4x为面积元素 由曲线y=f(x)与y=g(x)及直线 y=f() x=a,x=b(a<b)且f(x)≥g(x)所围成的图形面积A A=f(x)dx-g(x)dx=[f(x)-g(x)]dx y=g(x) 其中:[f(x)-g(x)]dx为面积元素 例1计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积 解法1:1)先画所围的图形简 y“=2x 解方程y=x-4,得交点:(2,-2) 2)选择积分变量并定区间 选取x为积分变量,则 3)给出面积元素 在0≤x≤2上,dA=[√2x-(-2x)dx= 在2≤x≤8上,dA=[V2x-(x-4kx=(4-2 4)列定积分表达式 A=2√2xax-L.-v∠A-4yM-1 dA=[(+4)-y2]小 解法2:若选取y为积分变量,则 A=(+4-y2)小=1 显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题 x2 例2求椭圆 所围成的面积(a>0,b>0) 解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于第 象限内面积的4倍 xx+dx 取x为积分变量,则0≤x≤a (0≤t≤ 作变量替换x= acos t dx= - dt A=4(b sind(a sin t d=4absin2tdf=4ab(2-1)T 极坐标情形 设平面图形是由曲线P=9(及射线9=a,日=A第一节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 与 轴所围成的曲边梯形面积 ： 其中： 为面积元素. 由曲线 与 及直线 ， 且 所围成的图形面积 ： 其中： 为面积元素. 例1 计算抛物线 与直线 所围成的图形面积. 解法1：1）先画所围的图形简图： 解方程 , 得交点： 和 . 2）选择积分变量并定区间： 选取 为积分变量，则 3）给出面积元素： 在 上， 在 上， 4）列定积分表达式： 解法2：若选取 为积分变量，则 ， ， 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题. 例2  求椭圆 所围成的面积 . 解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第 一象限内面积的4倍. 取 为积分变量，则 ， ， 故                     ( * ) 作变量替换 ，则 ， ， ( * * ) 2．极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线