水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 三角有理分式R(Sinx,cosx)的积分 (1)半角替换 记t=tan,则imxs2 +r’cosr=!-2 于是可将三角有理分式 R(sinx,cosx)的不定积分R(snx,cosx)dx化为关于的有理分式积分 (2)三角替换 若R(-sinx,cosx)=-l(sinx,cOsx),则取变换t=cosx,dt=- sin xdx,=_d sIn x 若R(sinx,cosx)=-R(sinx,cosx),则取变换t=sinx,asd COSx 若R(-sinx,-cosx)=R( In x cos x),则取变换t=tanx,ax=cos2xdt 定积分应用相关公式 (1)f(x)dx=-f(x)dx ()对积分区间的可加性:vc∈R,∫f(x)d=J(xt+∫f(x)r (3对被积函数满足线性性4()+Eg()]=4/(x)d+」g(x)h (4)保序性(保号性):若可积函数f(x)20,Vx∈[a,b],则f(x)x≥0 若可积函数f(x,g()满足(x)≥8g(x,则J(x)2J,g(x)x 特别,若非负连续函数f(x)在[a,6上不恒为零,则|f(x)dx>0 )若/1)上可则(上也可积/(x1(x 若可积函数f(x)在[a,b上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤Jf(x)x≤M(b-a) 进一步,若函数g(x)在[a,b]上非负可积,则(称为比较性质) m g(x) s.(x)(x)dsm.(x)d (7)积分中值定理:若函数∫(x)在[a,b]上连续,g(x)在[,b]上取定号且可积,则彐5∈(an,b) f(x)g(x)dx=f(s) 8( 特别 g(x)=1时,35∈[a,b,使「f(x)dt=f(5b-a)水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 三角有理分式 xxR )cos,(sin 的积分 （1）半角替换： 记 2 tan x t = , 则 2 1 2 sin t t x + = ， 2 2 1 1 cos t t x + − = ， dt t dt 2 1 2 + = ，于是可将三角有理分式 xxR )cos,(sin 的不定积分 化为关于t 的有理分式积分。 ∫ )cos,(sin dxxxR （2）三角替换 若 − xxR )cos,sin( = − xxR )cos,(sin , 则取变换t = cos x ，dt = −sin xdx ， x dt dx sin −= 。 若 − xxR )cos,(sin = − xxR )cos,(sin , 则取变换 = sin xt ， x dt dx cos = 。 若 −− xxR )cos,sin( = xxR )cos,(sin , 则取变换t = tan x ， dx xdt 。 2 = cos 定积分应用相关公式： (1) ∫∫ −= a b b a )()( dxxfdxxf (2) 对积分区间的可加性: ∫∫∫ ∈∀ = + b c c a b a )()()(, dxxfdxxfdxxfRc (3) 对被积函数满足线性性: [ ] ∫ ∫∫ + = + b a b a b a )()( )()( dxxgBdxxfAdxxBgxAf (4) 保序性（保号性）: 若可积函数 ≥ ∀ ∈ baxxf ],[,0)( , 则 ∫ ≥ 0)( 。 b a dxxf 若可积函数 xgxf )(),( 满足 ≥ xgxf )()( , 则 ≥ ∫∫ 。 b a b a )()( dxxgdxxf 特别，若非负连续函数 在 上不恒为零， xf )( ba ],[ 则 ∫ > 0)( 。 b a dxxf (5) 若 在 上可积 xf )( ba ],[ , 则 xf )( 在 上也可积 ba ],[ , 且 ∫∫ ≤ b a b a )()( dxxfdxxf (6) 估值定理 : 若可积函数 xf )( 在 ba ],[ 上满足 ≤ )( ≤ Mxfm , 则 abMdxxfabm )()()( b a ≤− −≤ ∫ 进一步 , 若函数 xg )( 在 ba ],[ 上非负可积 , 则（称为比较性质） ∫∫ ∫ ≤ ≤ b a b a b a )()()( )( dxxgMdxxgxfdxxgm (7) 积分中值定理: 若函数 xf )( 在 ba ],[ 上连续, xg )( 在 ba ],[ 上取定号且可积, 则 ξ ∈∃ ba ),,( 使 ∫ = ∫ 。 b a b a ξ )()()()( dxxgfdxxgxf 特 别 , xg ≡ 1)( 时 , ∃ξ ∈ ba ],,[ 使 abfdxxf ))(()( , 或 b a −= ∫ ξ 19