厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §16行列式的等价定义 教学目的与要求掌握行列式的等价定义,了解其含义 定义由1,2,…,n组成一个有序数组称为一个n级排列.在一个n级排列 (k1,k2,……,kn)中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面 的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序 数.记为N(k1,k2,…,kn) 逆序数求法1:在(k1,k2,…,kn)中,设k后有m1个数比k1小,k后有 m2个数比k2小;…,kn-1后有mn-1个数比kn-1小,则N(k1,k2,…,kn) m1+m2+ +mn-1 逆序数求法2:在(k1,k2,…,kn)中,设m后共有ln个数比n小,n-1后共 有l-1个数比n-1小,…,在2后面有l2个数比2小,则N(k1,k2,,kn) In+In 例1(1)N(4,1,3,2)=m1+m2+m3=3+0+1=4;N(4,1,3,2)=l4+l3+l2 3+1+0=4; (2)N(1 (3)N(n,n-1,……,2,1)=m1+m2+…+mn-1=(n-1)+(n-2)+…+1 N(n,n-1,…,2,1)=l2+1-1+…+l2=(n-1)+(n-2)+…+1== 二.奇排列,偶排列 定义若排列(k1,k2,…,kn)的逆序数为偶(含0)数,则称之为偶排列;若排 列(k1,k2,…,kn)的逆序数为奇数,则称之为奇排列. 引理设(k,k2,…,kn)为一个n个数的排列,若将其中k与k位置对换, 其余保持不动,则改变排列的奇偶性. 证明首先考虑相邻两数对换.若k>k+1,则对换后,逆序数减少1;若 k<k+1,则对换后,逆序数增加了1(因mk不变,当k≠i,+1时,故无论何d#2#
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9%3 n Am[ (k1, k2, · · · , kn) G￾u7%)￾!p=E3"-￾pf!￾1=f !￾￾ibeO%3k"￾%3m[Gk"!L￾O3m[!k" ￾
C N(k1, k2, · · · , kn). k"￾s, 1: 9 (k1, k2, · · · , kn) G￾y k1 =/ m1 3￾ k1 ￾ k2 =/ m2 3￾ k2  · · ·, kn−1 =/ mn−1 3￾ kn−1 ￾: N(k1, k2, · · · , kn) = m1 + m2 + · · · + mn−1. k"￾s, 2: 9 (k1, k2, · · · , kn) G￾y n =5/ ln 3￾ n ￾ n − 1 =5 / ln−1 3￾ n − 1 ￾ · · ·, 9 2 =f/ l2 3￾ 2 ￾: N(k1, k2, · · · , kn) = ln + ln−1 + · · · + l2. U 1 (1) N(4, 1, 3, 2) = m1+m2+m3 = 3+0+1 = 4; N(4, 1, 3, 2) = l4+l3+l2 = 3 + 1 + 0 = 4; (2) N(1, 2, · · · , n) = 0. (3) N(n, n−1, · · · , 2, 1) = m1 +m2 +· · ·+mn−1 = (n−1) + (n−2) +· · · + 1 = n(n−1) 2 ; N(n, n−1, · · · , 2, 1) = ln +ln−1 +· · ·+l2 = (n−1) + (n−2) +· · ·+ 1 = n(n−1) 2 . +
om[￾lm[ Q^ vm[ (k1, k2, · · · , kn) !k"￾l (9 0) ￾￾:Blm[vm [ (k1, k2, · · · , kn) !k"￾o￾￾:Bom[
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