R R- 对S(R)求导,得 S'(R)=-(4aR-3R2) 令S(R)=0,得到R=a。由于S(a)=-2<0,所以当R=a时,面 积最大,面积最大值为 6.求密度为p(x,y)==的抛物面壳z=(x2+y2),0≤z≤1的质量与重心 2 解质量M=mxy=j(x+y)+x+yd =2小+r 2 15 设重心坐标为(x,y,),由对称性,x=0,y=0 J=p(x, y )ds =J(x2+y)V1+x+ 1+r-dr 作代换t=√+r2,得到 ∫=(xy=202-B)b 于是 p(x, y)ds 596-45 749 所以重心为09-453 749 7.求均匀球面(半径是a,密度是1)对不在该球面上的质点(质量 为1)的引力。 解设球面方程为x2+y2+z2=a2,质点的坐标为(00,b)(0≤b≠a)。在 球面上(x,y,)处取一微元,面积为dS,它对质点的引力为 dF GaS 由对称性,F1=F,=0, F ds2 2 2 1 2 4 0 0 2 2 2 (1 2 R R a ) R R d rdr R R r a π θ π − = = − ∫ ∫ − 。 对S R( ) 求导，得 ( ) (4 3 ) 2 aR R a S′ R = − π ， 令S′(R) = 0，得到R a 3 4 = 。由于 ) 2 0 3 4 S′′( a = − π < ，所以当R a 3 4 = 时，面 积最大，面积最大值为 3 max 27 32 S = πa 。 6. 求密度为ρ( , x y) = z 的抛物面壳z x = + y ≤ z 1 2 0 2 2 ( ), ≤ 1的质量与重心。 解 质量 ∫∫ ∫∫ Σ Σ = = + + + xy M x y dS x y x y dxdy 2 2 2 2 ( ) 1 2 1 ρ( , ) π π θ π 15 12 3 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 0 3 2 2 0 + = + = + = ∫ ∫ ∫ d r r dr r r dr 。 设重心坐标为( , x y z, )，由对称性， x = 0, y = 0。 ∫∫ ∫∫ Σ Σ = + + + xy z x y dS x y x y dxdy 2 2 2 2 2 ( ) 1 4 1 ρ( , ) ∫ ∫ ∫ = + = + 2 0 4 2 2 2 0 5 2 2 0 1 4 1 4 1 d r r dr r r dr π θ π , 作代换 2 t = 1+ r ，得到 π π ρ 105 66 3 4 2( 1) 4 ( , ) 3 1 2 2 2 − = − = ∫∫ ∫ Σ z x y dS t t dt ， 于是 749 596 45 3 ( , ) − = = ∫∫ Σ M z x y dS z ρ ， 所以重心为 ) 749 596 45 3 (0,0, − 。 7. 求均匀球面（半径是 ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量 为 1）的引力。 a 解 设球面方程为 ，质点的坐标为 。在 球面上 处取一微元，面积为 ，它对质点的引力为 2 2 2 2 x + y + z = a (0,0,b) (0 ≤ ≠ b a) (x, y,z) dS 2 2 2 x y (z b) GdS dF + + − = 。 由对称性，Fx = Fy = 0， Fz = dS x y z b G z b ∫∫ Σ + + − − 2 3 2 2 2 [ ( ) ] ( ) 。 6