H adz dy= 2r arctan H (5)由对称性,有∫x24=ya=2,又由于 ∫(x2+y2+2)ds=lcs=4 所以 +2 「x2dS (6)由对称性,有』x△6=0,jy=2(x+y)S,再由 ∫z=2Jj/x2+y2),得到 ∫(x+y2+)4s=』x2+y2)+x+ y2dxdy 广ao,P可(,月 1564√17+4 (7)由x=cos,y=sinv,x=0,x=-sin,y=cos",x=1,得到 E=1,G=1 于是 vv1+u-dudv +u du =[a√1+a2+ln(a+√1+a2)]。 5.设球面Σ的半径为R,球心在球面x2+y2+x2=a2上。问当R何值 时,Σ在球面x2+y2+z2=a2内部的面积最大?并求该最大面积 解不妨设Σ的球心在(00a),于是Σ在球面x2+y2+2=a2内部的曲 面方程为 /R2 将此方程与球面方程x2+y2+2=a联立,解得:=2m-,这样,E 在球面x2+y2+2=a2内部的部分在Oxy平面上的投影为 D={(x,y)x2+y2sP、P 从而面积为 S(R)= dxdy ddla H dy a z a y adz a a H 2 arctan 1 2 0 2 2 2 2 = π + − = ∫ ∫− 。 （5）由对称性，有 ，又由于 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ x dS = y dS = z dS 2 2 2 2 2 2 2 4 (x + y + z )dS = a dS = 4πa ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 所以 2 4 2 2 2 9 13 12 13 2 3 4 dS x dS a x y z = = π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∫∫ ∫∫ Σ Σ 。 （6）由对称性，有∫∫ 3 = 0， Σ x dS 2 y dS Σ = ∫∫ 1 2 2 ( ) 2 x y dS Σ + ∫∫ ，再由 zdS Σ = ∫∫ 1 2 2 ( ) 2 x y dS Σ + ∫∫ ，得到 ( ) 3 2 2 2 2 2 ( ) 1 xy x y z dS x y x y dxd Σ Σ + + = + + + ∫∫ ∫∫ y 2 4 2 3 0 0 d r 1 r dr π θ ∫ ∫ = + 3 1 4 2 2 2 2 2 0 π (1 r r ) (1 ) d(1 r ) ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − + + ⎝ ⎠ ∫ 1564 17 4 15 π + = 。 （7）由 xu ′ = cos v, yu ′ = sin v,zu ′ = 0, xv ′ = −u sin v, yv ′ = u cos v,zv ′ = 1，得到 1, 1 , 0 2 E = G = + u F = 。 于是 ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ = + = + Σ a D zdS v u dudv vdv u du 0 2 2 0 2 1 1 π [ 1 ln( 1 )] 2 2 2 = π a + a + a + + a 。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2上。问当 R 何值 时，Σ 在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 内部的面积最大？并求该最大面积。 解 不妨设Σ 的球心在(0,0, a)，于是Σ 在球面 内部的曲 面方程为 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 2 z a = − R − ( ) x + y 。 将此方程与球面方程 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 联立，解得 a a R z 2 2 2 2 − = ，这样，Σ 在球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 内部的部分在Oxy 平面上的投影为 4 2 2 2 2 ( , ) 4 R D x y x y R a ⎧ ⎫ = + ⎨ ⎬ ≤ − ⎩ ⎭ ， 从而面积为 ∫∫ ∫∫ − − = + ′ + ′ = D D x y dxdy R x y R S R z z dxdy 2 2 2 2 2 ( ) 1 5