4.求下列第一类曲面积分 (1)(x+y+)s,其中∑是左半球面x2+y2+=2=a2,y≤0 (2)jx2+y2)ds,其中∑是区域(xy,)yx+y2s=sl的边界 (3)j+y=+2x),Σ是锥面=Vx2+y2被柱面x2+y2=2ax所 截部分 (4)∫ 其中∑是圆柱面x2+y2=a2介于平面z=0 与z=H之间的部分; dS,其中∑是球面x2+y2+z2=a (6)r+y2+s,其中∑是抛物面2=x2+y2介于平面==0与 z=8之间的部分; (7)ds,其中Σ是螺旋面x=cosy,y= using,=0≤a≤a, 0≤y≤2的一部分 解(1)由对称性, a +-)ds dS dex (2)设x1z=√x2+y2 y2≤1),则 +√2)ao! (3)(y+yz+)dS=ixy+(x+yvx'+y2N2drdy (sin A cos 8+ cos0+sin O)dracos 64 cos 0de 15 (4)设 a2-y2(0≤=≤H),则 dydz4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x所 截部分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 介于平面 与 x y a 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； (5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ； (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 解（1）由对称性， ∫∫ Σ (x + y + z)dS dzdx a x z a ydS a x z zx zx ∫∫ ∫∫ Σ Σ − − = = − − − 2 2 2 2 2 2 3 = −πa 。 （2）设 : , : 1 ( 1) 2 2 2 2 2 Σ1 z = x + y Σ z = x + y ≤ ，则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ + = + + + 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y dS x y dS x y dS θ π π 2 1 2 (1 2) 1 0 3 2 0 + = + = ∫ ∫ d r dr 。 （3）∫∫ ∫∫ Σ Σ + + = + + + xy (xy yz zx)dS [xy (x y) x y ] 2dxdy 2 2 ∫ ∫ − = + + θ π π θ θ θ θ θ 2 cos 0 3 2 2 2 (sin cos cos sin ) a d r dr 4 2 2 4 5 2 15 64 = 4 2a cos d = a ∫ − π π θ θ 。 （4）设 : , : (0 ) 2 2 2 2 2 Σ1 x = a − y Σ x = − a − y ≤ z ≤ H ，则 ∫∫ ∫∫ ∫∫ Σ Σ Σ + + + + + = + + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 dS x y z dS x y z dS x y z ∫∫ Σ + − = yz dydz a y a a z 2 2 2 2 1 2 4