第一学期第十二次课 第三章§1,§2n阶方阵的行列式 311平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明,给定二维向量空间中的单位正交标架,设向量a,B的坐标分别为 (a12a2)和(b1,b2),则由向量a,B张成的平行四边形的有向面积为a1b2-a2b1,这里记为; 给定三维空间内右手单位正交标架,设向量a,B,y的坐标分别为(a1,a2a3)、(b,b2,b2)和 (c1:c2c3),则由向量α,B,y张成的平行六面体的有向体积为 (a, b -a,bG+(ab-ab)c2+(a, b, -,6)c3 我们引入如下记号:对于二阶方阵A=(a1a21.定义A=a2-41:对于三 阶方阵A=a21a2a2,定义4=a1 十 不难发现,A(有向面积与有向体积)满足以下三条性质 (1)、如果A的某行或某列换为两个向量的线性组合ka+1B,则A=|A4|+|4|,其 中441分别为把该行(列)换为a,B所得的n阶方阵: (2)、如果A不满秩,则4=0 (3)、当A为单位矩阵时,A=1 312利用上述三条性质定义n阶方阵的行列式函数的det 定义线性函数 若f:M(K)→K满足如下条件:对K”中任意向量a1,a2,…an,a(写成横排形式) 以及K中任意数k,Ⅴi=1,2,…,n,都有 f ka=kf a 则称∫为Mn(K)上的一个行线性函数 设g:Mn(K)→>K满足如下条件 对K中任意向量B,B2…,Bn,B(写成竖排形式)以及K中任意数 2 都有第一学期第十二次课 第三章 §1，§2 n 阶方阵的行列式 3.1.1 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明，给定二维向量空间中的单位正交标架，设向量  , 的坐标分别为 1 2 ( , ) a a 和 1 2 ( , ) b b ，则由向量  , 张成的平行四边形的有向面积为 1 2 2 1 a b a b − ，这里记为； 给定三维空间内右手单位正交标架，设向量    , , 的坐标分别为 1 2 3 ( , , ) a a a 、 1 2 3 ( , , ) b b b 和 1 2 3 ( , , ) c c c ，则由向量    , , 张成的平行六面体的有向体积为 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b c a b a b c a b a b c − + − + − 。 我们引入如下记号：对于二阶方阵 11 12 21 22 a a A a a   =     ，定义 A a a a a = − 11 22 12 21 ；对于三 阶方阵 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =       ，定义 22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 a a a a a a A a a a a a a a a a = − + 。 不难发现， A （有向面积与有向体积）满足以下三条性质： （1）、如果 A 的某行或某列换为两个向量的线性组合 k l   + ，则 A A A = +1 2 ，其 中 1 2 A A, 分别为把该行（列）换为  , 所得的 n 阶方阵； （2）、如果 A 不满秩，则 A = 0 ； （3）、当 A 为单位矩阵时， A =1。 3.1.2 利用上述三条性质定义 n 阶方阵的行列式函数的 det 定义 线性函数 若 : ( ) n f M K K → 满足如下条件：对 n K 中任意向量 1 2 , , , ,    n (写成横排形式) 以及 K 中任意数 k， =i n 1, 2, , ，都有 1 i n f             +         = 1 i n f                    + 1 n f                    ； 1 i n f k                    = 1 i n kf                    ， 则称 f 为 ( ) M K n 上的一个行线性函数。 设 : ( ) n g M K K → 满足如下条件 对 n K 中任意向量 1 2 , , , ,    n （写成竖排形式）以及 K 中任意数 k， =j n 1, 2, , ， 都有