1+sinx 1+0 注在使用洛必达法则求极限时，首先要分析所求极限的类型是否为。或二型：要 结合其它方法（主要是用等价代换以及将极限为非零的因子的极限先求出来）来化简所求极 限：如有必要可以多次使用洛必达法则：当所求极限越来越复杂时，要考虑改用其它方法： 不能用洛必达法则来判别极限的存在性 例27设f的=阶导数存在，且/”>0,0)=0，证明F=f但在0<x< 上是单调增加的. 分析只需要证明FG=-f因>0，xe0,+o》即可. 证明因为 Fw=-因，xe0.to》. 2 令p(x)=f"(x)-f(x),显然p(x)在(0，+)上连续，且 ox)=xf"(x)>0,r∈0.+o) 故在(0，+)上是单调增加的。即)>以0)=0.从而F)>0,x0,+)故 F)=国在0<x<切上是单调增加的.证毕。 例28求曲线y=-的单调区间、四凸区间和拐点。 解y子xx-,在x=0处，y不存在，在x-处，y=0 3 在x=-处，y=0 这些特殊点将定义域分成若干部分，如下表所示： (-0,-5(-50)00,2 2(+) y 十 0 十 0+ 十 v 由函数单调性的判定法可知函数的单调增加区间是(-，0)及（径，+切），单调减少区间是 0,子：由函数的四凸性判定法可知函数凸区间是（一0，-，四区间是(-5+网）和0，+o).拐 注1求函数y=fx)单调区间的步骤 解 sin lim cos x x x e x →+ e x + + = sin 1 1 0 lim 1 cos 1 0 1 x x x x e x e →+ + + = = + + ． 注 在使用洛必达法则求极限时，首先要分析所求极限的类型是否为 0 0 或   型；要 结合其它方法（主要是用等价代换以及将极限为非零的因子的极限先求出来）来化简所求极 限；如有必要可以多次使用洛必达法则；当所求极限越来越复杂时，要考虑改用其它方法； 不能用洛必达法则来判别极限的存在性． 例 27 设 f x( ) 的二阶导数存在，且 f x ( ) 0  ，f (0) 0 = ，证明 ( ) ( ) f x F x x = 在 0   + x 上是单调增加的． 分析 只需要证明 2 ( ) ( ) ( ) 0 xf x f x F x x  −  =  ， ( (0, )) x + 即可． 证明 因为 2 ( ) ( ) ( ) xf x f x F x x  −  = ， ( (0, )) x + ． 令 ( ) ( ) ( ) x xf x f x = −  ，显然 ( ) x 在 (0, ) + 上连续，且   ( ) ( ) 0 x xf x =  ， x + (0, ) ， 故 ( ) x 在 (0, ) + 上是单调增加的．即   ( ) (0) 0 x  = ．从而 F x ( ) 0  ， x + (0, ) ．故 ( ) ( ) f x F x x = 在 0   + x 上是单调增加的．证毕． 例 28 求曲线 5 2 3 3 y x x = − 的单调区间、凹凸区间和拐点． 解 2 1 1 3 3 3 5 2 5 2 ( ) 3 3 3 3 x y x x x − −  = − = − ，在 x = 0 处， y  不存在，在 2 5 x = 处， y  = 0 ． 1 4 4 3 3 3 10 2 10 2 ( ) 9 9 9 9 y x x x x − − −  = + = + ， 在 1 5 x = − 处， y  = 0 ． 这些特殊点将定义域分成若干部分，如下表所示： 由函数单调性的判定法可知函数的单调增加区间是 ( ,0) − 及 2 ( , ) 5 + ，单调减少区间是 2 [0, ] 5 ；由函数的凹凸性判定法可知函数凸区间是 1 ( , ] 5 − − ，凹区间是 1 ( , ) 5 − + 和 [0, ) + ．拐 点为 3 1 6 ( , ) 5 5 25 − − ． 注 1 求函数 y = f x( ) 单调区间的步骤: x 1 ( , ) 5 − − 1 5 − 1 ( ,0 ) 5 − 0 2 (0, ) 5 2 5 2 ( , ) 5 + y  ＋ ＋ － 0 ＋ y  － 0 ＋ ＋ ＋ y ↗ ↗ ↘ ↗