(1)若A的正惯性指数等于m,则A正定。 (2)若A的特征值全是正的，则A正定。 (3)若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。 (4若A合同于单位阵，即A=CC(C为可逆阵)，则A正定。 (⑤)用正定的定义，即≠0，x∈R",∫=xTAx>0,则A正定 注1上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，()，（⑤）。 注2n阶矩阵A=(a,)的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 a1a2…ak D.=detA.d …a2 k=1,2,…m） 共有n个。 注3对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若(-)*D>0(k=1,2,…,m),则A负定。 5.1.14正定矩阵的有关结论 ()4正定，则a>0,0=1,2,…,川 注这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。 (2)A正定，则AT,A,A,Am(m为正整数)均为正定矩阵。 (3)A,B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。 5.2典型例题分析 1)特征值于特征向量的计算 122 例1求仁212的全部特征值和对应的特征向量 221 1-22122 8A-刘2-226-1-3 221- 12 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn(1) 若 A 的正惯性指数等于 n，则 A 正定。 (2) 若 A 的特征值全是正的，则 A 正定。 (3) 若 A 的各阶前主子式均大于零，则 A 正定。 (4) 若 A 合同于单位阵，即 A C C T = （C 为可逆阵），则 A 正定。 (5) 用正定的定义，即 x 0 x R x Ax 0 n T " ¹ , Î , f = > ，则 A 正定。 注 1 上述各条均为实对称阵 A 正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。 注 2 n 阶矩阵 A= ( ) aij 的 k 阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 k k kk k k a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 Dk = det Ak = k = (1,2,L.n) 共有 n 个。 注 3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若( 1) 0(k 1,2, , n) - k Dk > = L ，则 A 负定。 5.1.14 正定矩阵的有关结论 (1) A 正定，则 a 0,(i 1,2, , n) ii > = L 注 这是正定的一个必要条件，常用来判定 A 不是正定的，但不能用来判断 A 正定。 (2) A 正定，则 T 1 m A , A ,A , A - * （m 为正整数）均为正定矩阵。 (3) A，B 为 n 阶的正定矩阵，则 A+B 也是正定矩阵。 5.2 典型例题分析 1）特征值于特征向量的计算 例 1 求 A= 2 2 1 2 1 2 1 2 2 的全部特征值和对应的特征向量。 解 l l l l l l l - = - - - - - - = 1 2 1 1 1 2 1 2 2 (5 ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A I PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn