如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或翠点。 推论a是f(x)的根的充分必要条件是(x-afx)。 由这个关系，我们可以定义重根的概念。a称为f(x)的k重根，如果(x-a)是f(x的k重 根，如果(x-a)是f(x)的k重根。当k=1时，a称为单根；当k>1时，a称为重根。 定理8Px中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算。 证明对零次多项式定理显然成立。 设f(x)是一个次数>0的多项式，把f(x)分解成不可约多项式的乘积。由上面的推论与根的 重数的定义，显然(x)在数域P中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不 超过n。 定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数a,4,,a 有相同的值，即 1（a)=g(a) i=1,2,…,n+l,那么fx)=g(x). 证明由定理的条件，有 fa,)-g(a,)=0,i=1,2,…,n+1 这就是说，多项式fx)-g(x)有n+1个不同的根。如果f(x)-g(x)≠0，那么它就是一个次数 不超过n的多项式，由定理8，它不可能有n+1个根。因此，f(x)=g(x)。 因为数域P中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同。 如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相 等实际上是一致的，换句话说，数域上的多项式既可作为形式表达式来出来处理，也可以作 为函数来处理。但是应该指出，考虑今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些。 第七节复系数与实系数多项式的因式分解 代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根。 定理的证明 E本课程中不讲，将在复变函数讨论 代数基本定理显然可以等价叙述为：每个次数之1的复系数多项式，在复数域上一定有 次因式。 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式 只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理每个次数21的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分如果 f (x) 在 x = a 时函数值 f (a) = 0 ，那么 a 就称为 f (x) 的一个根或零点。 推论 a 是 f (x) 的根的充分必要条件是 (x − a) f (x) 。 由这个关系，我们可以定义重根的概念。 a 称为 f (x) 的 k 重根，如果 (x − a)是 f (x)的k 重 根，如果（ x −a ）是 f (x) 的 k 重根。当 k =1 时， a 称为单根；当 k 1 时， a 称为重根。 定理 8 Px中n 次多项式 (n  0) 在数域 P 中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算。 证明 对零次多项式定理显然成立。 设 f (x) 是一个次数>0 的多项式，把 f (x) 分解成不可约多项式的乘积。由上面的推论与根的 重数的定义，显然 f (x) 在数域 P 中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不 超过 n。 定理 9 如果多项式 f (x), g(x) 的次数都不超过 n ，而它们对 n +1 个不同的数 1 2 1 , , , a a  an+ 有相同的值，即 ( ) ( ) ai g ai f = i =1,2,  ,n +1,那么f (x) = g(x)。 证明 由定理的条件，有 f (a ) − g(a ) = 0,i =1,2, ,n +1. i i  这就是说，多项式 f (x) − g(x)有n +1 个不同的根。如果 f (x) − g(x)  0 ，那么它就是一个次数 不超过 n 的多项式，由定理 8，它不可能有 n +1 个根。因此， f (x) = g(x) 。 因为数域 P 中有无穷多个数，所以定理 9 说明了，不同的多项式定义的函数也不相同。 如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相 等实际上是一致的，换句话说，数域上的多项式既可作为形式表达式来出来处理，也可以作 为函数来处理。但是应该指出，考虑今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些。 第七节 复系数与实系数多项式的因式分解 代数基本定理 每个次数  1 的复系数多项式在复数域中有一根。 这个定理的证明在本课程中不讲，将在复变函数讨论。 代数基本定理显然可以等价叙述为：每个次数  1 的复系数多项式，在复数域上一定有一 次因式。 由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式 只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理 每个次数  1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分