第十二章重积分 7-3曲面积分 例十二,S是椭球面x+2+=2=1的上半部分,点 P(x,y,)∈S,为S在点P处之切平面,p(x,y,)为原点O 到平面x的距离,求盯 x,y,二 解:切平面:r:x(x-x)+y(y-y)+20(-=0)=0 x+y+202=1 原点到的距离p(x,y0,0)= 2+ x+y+420 于= =2 dxdy 例十三,设有一高度为hO)(为时间)的雪堆在融化过程 中,其侧面满足方程:=M0)-2+y),(设长度单位为 厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面 积成正比(比例系数09)问高为130厘米的雪堆全部融 化需多少小时? 雪堆体积:=∫h==kdy 2(x2-y2) 2 dxdy h3 h h x2+y2 ●雪堆表面积:S=」d= dxdy 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 7-3 曲面积分 例十二， S 是椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y 的上半部分, 点 P(x, y,z)S ,  为 S 在点 P 处之切平面, (x, y,z) 为原点 O 到平面  的距离，求 ( ) ? , , =  S dS x y z z  ( 2 3 ) 解：切平面：  : x0 (x − x0 )+ y0 (y − y0 )+ 2z0 (z − z0 ) = 0 1 2 2 0 0 0  + y + z z = y x x . 原点到  的距离 ( ) 2 0 2 0 2 0 0 0 0 4 2 , , x y z x y z + +  = ; ( ) ( )  2 3 4 , , 22 2 2 2 2 2 2 = + + =   S x + y  x y z dxdy z dS x y z z . 例十三，设有一高度为 h(t) ( t 为时间)的雪堆在融化过程 中，其侧面满足方程 ( ) ( ) h(t) x y z h t 2 2 2 + = − , (设长度单位为 厘米，时间单位为小时)， 已知体积减少的速率与侧面 积成正比(比例系数0.9 ) 问高为130 厘米的雪堆全部融 化需多少小时? ⚫ 雪堆体积：   = =  D V dv zdxdy ( )  +          − = − 2 2 2 2 2 2 2 h x y dxdy h x y h = d h (t) h d h h 3 2 0 2 0 2 4 2       =         −   ⚫ 雪堆表面积：   +            +           = = + 2 2 2 2 2 2 1 h x y S dxdy y z x z S dS