曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 式中,(s)=|r"(s)m+1为曲线的曲率,n(s)= (8)为曲线的法向量 r"(s)|m+1 注意到 r(t)I r(tIR 所以 (r(s),r'(s)r= bij()i(t)i(t) bi;(a )i(t)i(t) m+l gpq(a)ip(t)iq(t) (r"(s),nx)2m+1=()(n(),nx)m+1=(s)cos(m,nx) 式中,(n,nx)表示曲线法向量n与曲面法向量n之间的夹角.根据引理11可得 K(s(t) cos(n, nE) gpg(a)ip(t)iq(t) 截线曲率即为 K(s(t)= cos(n, ny)gpq(a)ip(t)i(t) 1.2法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面(法截面)相交截得的曲线.在这种情况下, cos(n,nx)=±1,因此法截线曲率可以表示为 K(s(t)=± bij(a)i(t)i(t) gpq(a)ip(t)iq(t) 上式右端的分子和分母都是二次型,于是引入 (t) im(t) 则法截线曲率可以表示为 k(s(t)) ∈(t)B(x(1)(t) ∈(t)G(x(t)E(t 根据同时对角化定理,一定存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 STGS=I SBS 其中A满足det(B-λG)=0,i=1,……,m.所以有 S-s (s(t)张量分析讲稿谢锡麟 曲面上截线与法截线曲率 谢锡麟 式中, κ(s) = |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的曲率, n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的法向量. 注意到 r ′ (s) = r˙(t) dt ds = r˙(t) |r˙(t)|Rm+1 = x˙ i (t) |r˙(t)|Rm+1 gi (x(t)), 所以 ⟨r ′ (s), r ′ (s)⟩T xΣ = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) |r˙(t)| 2 Rm+1 = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) , ( r ′′(s), nΣ ) Rm+1 = κ(s) (n(s), nΣ)Rm+1 = κ(s) cos(n, nΣ), 式中, (n, nΣ) 表示曲线法向量 n 与曲面法向量 nΣ 之间的夹角. 根据引理1.1可得 κ(s(t)) cos(n, nΣ) = bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) , 截线曲率即为 κ(s(t)) = 1 cos(n, nΣ) bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) . 1.2 法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面 (法截面) 相交截得的曲线. 在这种情况下, cos(n, nΣ) = ±1, 因此法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± bij (x) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(x) ˙x p(t) ˙x q(t) . 上式右端的分子和分母都是二次型, 于是引入 ξ(t) =   x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t)   , 则法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± ξ T(t)B(x(t))ξ(t) ξ T(t)G(x(t))ξ(t) . 根据同时对角化定理, 一定存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得    S TGS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 其中 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 所以有 κ(s(t)) = ± ξ T(S −1 ) T   λ1 . . . λm   S −1 ξ ξ T(S −1 ) TImS −1 ξ . 2