为W.于是当i<N时有 P(W=0|Xx1=i)=1 而当i≥N时,此顾客的等待时间恰为t后,第i-N+1个顾客离开的时间(因为在这之 前,N条服务线忙于为排队在为前面的-N+1个顾客服务,只有当第i-N+1个顾客结 束服务后,这N条服务线中才有一条空出来).记t时间以后第k个顾客离开的时间为 t+ok,注意顾客与服务线的服务时间是相互独立的,当i≥N时就有 P(G1≥S|X,=1)=P(N条服务线无一在s前结束|X1=D)=(e)=eM 可见G1服从参数为Nμ的指数分布.再则,在i≥N+1时,当第1个顾客结束服务后,这N 条服务线各自需要多少时间结束已开始的服务,是与此前的情况相互独立的,而且仍相互独 立地服从参数为的指数分布。所以,当i≥N+k-1时,{o1-0}skk服从相互独立 的指数分布exp·故而ak~I(k,N)分布,即 P(oks)=Nu Nμ Nas(Nu·s) (k-1)! 最后,原来排队的i人在时刻t新来的顾客加入后成为1+1人,除去在接受服务的N人外, 需要等待i+1-N次服务,因此由丌,的表达式我们得到 PW≥s)=∑兀,P (N·4·s)y 丌xe 丌xe (NuS) I =丌xe 1- Ne Np-i)s Np Nu-λ 于是有下面的定理 定理7.3可逆M/M/N系统在稳定时有 1#需要等待的概率为 P>0)=r,_M (7.11) 2#平均等待时间为 NA EW=」P(W>s)kds= (7.12)181 为W . 于是当i < N 时有 P(W = 0 | Xt = i) = 1． 而当i ³ N 时, 此顾客的等待时间恰为t 后, 第i - N +1个顾客离开的时间 ( 因为在这之 前, N 条服务线忙于为排队在为前面的i - N +1个顾客服务, 只有当第 i - N +1个顾客结 束服务后, 这 N 条服务线中才有一条空出来 ). 记t 时间以后第k 个顾客离开的时间为 k t +s , 注意顾客与服务线的服务时间是相互独立的, 当i ³ N 时就有 ( | ) ( | ) 1 P s X i P N s X i s ³ t = = 条服务线无一在 前结束 t = s N N s e e - × - × = = m m ( ) . 可见s1服从参数为 Nm 的指数分布. 再则，在 i ³ N +1时, 当第 1 个顾客结束服务后, 这 N 条服务线各自需要多少时间结束已开始的服务，是与此前的情况相互独立的, 而且仍相互独 立地服从参数为 m 的指数分布。 所以，当i ³ N + k -1时, j - j -1 1£ j£k {s s } 服从相互独立 的指数分布 m exp . 故而 s ~ (k, Nm) k G 分布, 即 ò ¥ - × - - × ³ = s N x k k e dx k N x P s N m m s m ( 1)! ( ) ( ) 1 å - = - × × = 1 0 ! ( ) k j j N s j N s e m m . 最后, 原来排队的 i 人在时刻t 新来的顾客加入后成为 i +1人, 除去在接受服务的 N 人外, 需要等待i +1- N 次服务, 因此由p i 的表达式我们得到: å ¥ = ³ = + - ³ i N P(W s) iP( i N s) p s 1 å ¥ = - = i N i N N N ( ) m l p å - = - ×× × × × i N j j N s j N s e 0 ! ( m ) m å å= ¥ = - × = l j j l l N s N j N s N e 0 0 ! ( ) ( ) m m l p m å å ¥ = ¥ = - = l j l j j N s N j N N s e ( ) ! ( ) 0 m m l p m m l m m l p m N j N s N e j j j N s N - = å ¥ = - × 1 1 ! ( ) ( ) 0 m l m p m l - = - - N N e N s N ( ) . 于是有下面的定理 定理７.３ 可逆M / M / N 系统在稳定时有 1 # 需要等待的概率为: m l m p - > = N N P W N ( 0) . (7.11) 2 # 平均等待时间为 ò ¥ - = > = 0 2 ( ) ( ) m l m p N N EW P W s ds N . (7.12)