-(λ+p) Q (n∧N)-[(n∧N)+A]元 它是互通的,且具有配称列μ=(40,12…),其中 (n∧N) (k∧N) 于是存在可逆分布当且仅当λ<μ.在条件成立时,令 (7.10) NN 那么兀就是可逆分布.因此排队过程x是连续时间的 Markov链,在λ<μ时其转移矩阵 P(t)有极限,且 P(t →>1丌 在达到稳定时,排队系统处于闲期的概率为丌。,处于忙期的概率为1-兀。 由此我们也可以得到,在μ>λ时M/M/N系统达到稳定时的平均排队长度 2.可逆M/M/N系统的特性 命题7.2若M/M/N排队过程的初值为可逆分布(或者任意初值,并经过时间充分 长后),那么 (1)正在系统中的人数与输出过程的过去情况相互独立. (2)给定顾客在此系统中所停留的时间,与他离开前的输出流独立 证明(1)输出过程的过去就是逆过程的输入过程的将来,这正是指数流的将来.由 指数流的性质,它应与在系统中的人数独立 (2)由引理7.1,逆过程的输入过程是指数流.再用(1),逆过程在进入系统时刻 以后的输入流就与已进入的顾客在系统中的停留时间独立.这就是说,顾客离开系统前的输 出流与他在系统中的停留时间独立 3.可逆M/M/N系统在稳定时的平均等待时间 设μ>λ.在达到稳定后(时间充分长,致使系统近似平稳),对于在时刻t来到排队系统 的顾客的平均等待时间,可以分析如下.由于排队系统平稳,对于在系统中的顾客(包括在 排队的与正在接受服务的顾客)数x,应有P(x,=1)=丌1记时刻t来到的顾客等待时间180 Q ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ Ù - Ù + - + - = O O O O O m l l m l m l l l ( ) [( ) ] ( ) n N n N . (7.8) 它是互通的, 且具有配称列 m ( , , ) = m0 m1 L , 其中 m0 = 1, 1 1 1 ( ) 1 ( ) + = - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ Ù = Ù = Õ n n k n n k N n N m l m m l m . (7.9) 于是存在可逆分布当且仅当 l < m . 在条件成立时, 令 p å å ¥ = + = + = 0 0 ( ) 1 ! 1 ( ) ! 1 1 j N j j k N k k N N m l m l m . (7.10) 那么p 就是可逆分布. 因此排队过程 Xt 是连续时间的 Markov 链，在l < m 时其转移矩阵 P (t) 有极限, 且 P p t T t ¾ ¾®1 ®¥ ( ) . 在达到稳定时，排队系统处于闲期的概率为p 0 , 处于忙期的概率为 1- p 0 . 由此我们也可以得到，在 m > l 时 M / M / N 系统达到稳定时的平均排队长度. 2. 可逆 M / M / N 系统的特性 命题 7．2 若M / M / N 排队过程的初值为可逆分布(或者任意初值, 并经过时间充分 长后), 那么 (1) 正在系统中的人数与输出过程的过去情况相互独立. (2) 给定顾客在此系统中所停留的时间，与他离开前的输出流独立. 证明 (1) 输出过程的过去就是逆过程的输入过程的将来, 这正是指数流的将来．由 指数流的性质，它应与在系统中的人数独立. (2) 由引理７.１，逆过程的输入过程是指数流. 再用（１）, 逆过程在进入系统时刻 以后的输入流就与已进入的顾客在系统中的停留时间独立. 这就是说, 顾客离开系统前的输 出流与他在系统中的停留时间独立. 3. 可逆 M / M / N 系统在稳定时的平均等待时间 设m > l . 在达到稳定后(时间充分长,致使系统近似平稳)，对于在时刻 t 来到排队系统 的顾客的平均等待时间，可以分析如下. 由于排队系统平稳, 对于在系统中的顾客(包括在 排队的与正在接受服务的顾客)数 Xt ，应有 t i P(X = i) = p . 记时刻 t 来到的顾客等待时间