(2),(3),(4)的证明和(1)相同(略) 4.提示:代叭(x),v(x)到微分方程验证即可。 5.证明:对条件中的不等式进行求导有:f(1)≤f(t)g(1),∵∫()2g(1)在区间上是非负 连续的,∴∫(x)是单调减少的,即在区间上有最大值M。现在再求最大值 对∫()=f()g(1)积分,则得M=Cexg(s)ds),因此f()≤cexp(g(s)d 6.提示:和3题的证明类似。应用定理及f(x,y)偏导存在 7.证明:假设在x≥x。一侧有两个解y1(x)和y2(x),且y>y2,则由f(x,y)是y的非 增函数,因此f(x,y1)-f(x,y2)≤0,即(y1-y2)≤0,可以得出y-y2是非增的,而 在x0点有y1(x0)-y2(x0)=0,这与y1(x)>y2(x)矛盾,假设不成立,只有一解 8.提示:作逐步逼近函数序列,(x)=f(x) (x)=(x)+)(x.9)9(5)M5,n=012 ML 9.提示:首先判断出满足唯一性条件的hL和M,由pn(x)-p(x)≤ h+1<0.05判 n 断出要进行的迭代次数n,应用 Picard迭代即可,答案是 P(x) x 返回目录 3632079 答案13 1我们还是在以原点为中心的矩形R=xy)xs1y≤1}内画方程的向量场和积分曲线 程序如下: DEtools[phaseportrait ( diff(y(x), x =x/yly(x), x-1.1 y(-1)=1].(-1)=0][y(-1)=-1]l dirgrid=33, 33 Arrows=LINE Axes= NORMAL)#其余三个只需把初值和函数还一下即可 1)（2），（3），（4）的证明和（1）相同（略） 4．提示：代φ(x),ψ(x)到微分方程验证即可。 5．证明：对条件中的不等式进行求导有： ( ) ( ) ( ) ' f t ≤ f t g t ，∵ f (t), g(t)在区间上是非负 连续的，∴ f (x) 是单调减少的，即在区间上有最大值 M。现在再求最大值 对 ( ) ( ) ( ) ' f t = f t g t 积分，则得 ∫ = t M C g s ds 0 exp( ( ) ) ，因此 ∫ ≤ t f t C g s ds 0 ( ) exp( ( ) ) 6．提示：和 3 题的证明类似。应用定理及 f (x, y) 偏导存在 7．证明：假设在 0 x ≥ x 一侧有两个解 ( ) ( ) 1 2 y x 和y x ，且 1 2 y > y ，则由 f (x, y) 是 y 的非 增函数，因此 ( , ) ( , ) 0 f x y1 − f x y2 ≤ ，即( ) 0 ' y1 − y2 ≤ ，可以得出 1 2 y − y 是非增的，而 在 0 x 点有 y1 (x0 ) − y2 (x0 ) = 0 ，这与 ( ) ( ) 1 2 y x > y x 矛盾，假设不成立，只有一解 8．提示：作逐步逼近函数序列， ( ) ( ) 0 φ x = f x ( ) ( ) ( , ) ( ) , 0,1,2,.... 1 = + = + ∫ x f x K x d n b a φ n λ ξ φ n ξ ξ 9．提示：首先判断出满足唯一性条件的 h,L 和 M，由 0.05 ( 1) ( ) ( ) 1 < + − ≤ n+ n n h n ML x x ！ φ φ 判 断出要进行的迭代次数 n，应用 Picard 迭代即可，答案是 3 7 11 15 59535 1 2079 2 63 1 3 1 φ(x) = x + x + x + x 返回目录 答案 1.3 1 我们还是在以原点为中心的矩形 R={(x,y)| x ≤ 1, y ≤ 1}内画方程的向量场和积分曲线： 程序如下：DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=x/y],y(x),x= -1..1, [[y(-1)=1],[y(-1)=0],[y(-1)= -1]], dirgrid=[33,33], Arrows=LINE, Axes=NORMAL);#其余三个只需把初值和函数还一下即可 1）