教学内容 高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x,y,=)、Q(x,y,=) R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有公式 +2+h=于的+Q+的 或+②+=手(Pw+QB+Rcs 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cosa,cosB,cosy是∑上点(x,y,z)处的法 向量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xoy上的投影区域为Dy2由21,2和23三部分组成 1:z==1(x,y)Σ2:z=2(x,y)∑3柱面 根据三重积分的计算法 R (x,)aR =I(R[x,y, =2(x,y)]-R[x,y, =(x,y)liddy 根据曲面积分的计算法(Σ1取下侧,Σ2取上侧,∑3取外侧) [R(x, 3, =dxdy=-[R(x,y,=(x,y)]drdy 22 教 学 内 容 一、高 斯 公 式 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数 P(x, y,z) 、 Q(x, y,z) 、 R(x, y,z) 在  上具有一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) dv P Q R dS z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +   或    这里  是  的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是  上点 (x, y,z) 处的法 向量的方向余弦. 证明 设闭区域  在面 xoy 上的投影区域为 Dxy .  由 1 , 2 和 3 三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3 柱面 根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法( 1 取下侧, 2 取上侧, 3 取外侧) ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy x y z o  1 2 3 Dxy