第二章解线性方程组的直接法 2.1内容提要 1.直接法概述 目前,计算机上解线性代数方程组的数值方法尽管很多,但归纳起来,大致可以分为两 大类:一类是直接法;另一类是迭代法。一般,对中、低阶以及高阶带形线性代数方程组, 用直接法有效,而对于高阶线性代数方程组,特别是对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性代 数方程组,用迭代法有效。 2.高斯(Gaus消去法 高斯消去法是一个古老的求解线性代数方程组的直接法,但由它的改进、变形得到的如 选主元消去法、三角分解法等,仍然是目前计算机上解中、低阶稠密矩阵方程组的常用有效 方法。 设有n阶代数线性方程组 x In b 写为矩阵形式 Ax=b 其中 11 为保证方程组有唯一解,设系数矩阵A为非奇异阵。将Ax=b记为A(x=b(),高斯消去 法描述如下 (1)消元过程 第k次消元(1≤k≤n-1):假定已完成k-1步消元,得到Ax=b(),第二章 解线性方程组的直接法 2.1 内容提要 1. 直接法概述 目前，计算机上解线性代数方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两 大类：一类是直接法；另一类是迭代法。一般，对中、低阶以及高阶带形线性代数方程组， 用直接法有效，而对于高阶线性代数方程组，特别是对于系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性代 数方程组，用迭代法有效。 2. 高斯(Gauss)消去法 高斯消去法是一个古老的求解线性代数方程组的直接法，但由它的改进、变形得到的如 选主元消去法、三角分解法等，仍然是目前计算机上解中、低阶稠密矩阵方程组的常用有效 方法。 7 设有 n 阶代数线性方程组        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b L L L L 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 写为矩阵形式 Ax = b， 其中             = n n nn n n a a a a a a a a a A L M M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 ， ，             = n x x x M 2 1 x             = bn b b M 2 1 b 为保证方程组有唯一解，设系数矩阵 A 为非奇异阵。将 Ax = b记为 ，高斯消去 法描述如下： (1) (1) A x = b ⑴消元过程 第 k 次消元(1 ≤ k ≤ n −1)：假定已完成 k −1步消元，得到 A(k ) x = b(k )