min{12,-6,30.-22}=-22 min{14,2,18.10)}=2 min{-6,0.-10,16}=-10 其中最好的可能为max{-22,2,-10}=2。如果局中人I采取策略∝2,无论局中人Ⅱ 采取什么策略,局中人Ⅰ的赢得均不会少于2 局中人Ⅱ采取各方案的最大损失为max{12,14,-6}=14,max{-6,2,0} max{30.18-10}=30,和max{-2210.1l6}=16。当局中人Ⅱ采取策略B2时,其损 失不会超过2。注意到在赢得矩阵中,2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大 元素。此时,只要对方不改变策略,任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减 少损失,称这样的局势为对策的一个稳定点或稳定解 定义1设f(x,y)为一个定义在x∈A及y∈B上的实值函数,如果存在x*∈A, ∈B,使得对一切x∈A和y∈B,有 f(x,y*)≤∫(x*,y*)≤∫(x*,y) 则称(x*,y*)为函数∫的一个鞍点 定义2设G={S12S2A}为矩阵对策,其中S1={a2a2;…,∝m} S2={B1,B2…,Bn},A=(an)mm°若等式 max mind.=min maxa.=d (1) 成立,记VG=a…则称G为对策G的值,称使(1)式成立的纯局势(ax…,B,)为 对策G的鞍点或稳定解,赢得矩阵中与(a,B,)相对应的元素a…称为赢得矩阵的鞍 点,α,与β,分别称为局中人I与Ⅱ的最优纯策略 给定一个对策G,如何判断它是否具有鞍点呢?为了回答这一问题,先引入下面 的极大极小原理。 定理1设G={S,S2;4},记H= max mina,v=-minn max a 则必有 +v≤0。 证明v= maxmin(-an),易见为I的最小赢得,v为Ⅱ的最小赢得,由于G 是零和对策,故+v≤0必成立。 定理2零和对策G具有稳定解的充要条件为4+v=0。 证明:(充分性)由和v的定义可知,存在一行例如P行,为p行中的最小元 素,且存在一列例如q列,一v为q列中的最大元素。故有 ap≥且ap≤-V 又因+v=0,所以=-V,从而得出am=,am为赢得矩阵的鞍点,(an,B) 为G的稳定解 (必要性)若G具有稳定解(ap,B),则ap为赢得矩阵的鞍点。故有 A=maxminay2minap=apg v= minmaxa, s max aig=a -156-156- min{12,−6,30,−22} = −22 min{14,2,18,10} = 2 min{−6,0,−10,16} = −10 其中最好的可能为 max{−22,2,−10} = 2 。如果局中人Ⅰ采取策略α2 ，无论局中人Ⅱ 采取什么策略，局中人Ⅰ的赢得均不会少于 2。 局中人Ⅱ采取各方案的最大损失为 max{12,14,−6} = 14 ， max{−6,2,0} = 2 ， max{30,18,−10} = 30 ，和 max{−22,10,16} =16 。当局中人Ⅱ采取策略 β 2 时，其损 失不会超过 2。注意到在赢得矩阵中，2 既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大 元素。此时，只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减 少损失，称这样的局势为对策的一个稳定点或稳定解。 定义 1 设 f (x, y) 为一个定义在 x ∈ A 及 y ∈ B 上的实值函数，如果存在 x*∈ A ， y*∈ B ，使得对一切 x ∈ A 和 y ∈ B ，有 f (x, y*) ≤ f (x*, y*) ≤ f (x*, y) 则称(x*, y*) 为函数 f 的一个鞍点。 定 义 2 设 { , ; } G = S1 S2 A 为矩阵对策，其中 { , , , } S1 = α1 α 2 L α m ， { , , , } S2 = β1 β 2 L β n ， A = aij m×n ( ) 。若等式 max min minmax ij i* j* j i ij i j a = a = a （1） 成立，记VG = ai* j* ，则称VG 为对策G 的值，称使（1）式成立的纯局势( , ) αi* β j* 为 对策G 的鞍点或稳定解，赢得矩阵中与( , ) αi* β j* 相对应的元素ai* j* 称为赢得矩阵的鞍 点，αi* 与 β j* 分别称为局中人Ⅰ与Ⅱ的最优纯策略。 给定一个对策G ，如何判断它是否具有鞍点呢？为了回答这一问题，先引入下面 的极大极小原理。 定理 1 设 { , ; } G = S1 S2 A ，记 ij i j μ = max min a ， ij j i ν = −minmax a ，则必有 μ +ν ≤ 0 。 证明 max min( )ij j i ν = −a ，易见 μ 为Ⅰ的最小赢得，ν 为Ⅱ的最小赢得，由于G 是零和对策，故 μ +ν ≤ 0 必成立。 定理 2 零和对策G 具有稳定解的充要条件为 μ +ν = 0。 证明：（充分性）由 μ 和ν 的定义可知，存在一行例如 p 行，μ 为 p 行中的最小元 素，且存在一列例如 q 列， −ν 为 q 列中的最大元素。故有 apq ≥ μ 且apq ≤ −ν 又因 μ +ν = 0，所以 μ = −ν ，从而得出apq = μ ，apq 为赢得矩阵的鞍点，( , ) α p β q 为G 的稳定解。 （必要性）若G 具有稳定解( , ) α p β q ，则apq 为赢得矩阵的鞍点。故有 pj pq j ij i j μ = max min a ≥ min a = a iq pq i ij j i −ν = minmax a ≤ max a = a