定理3.21 若a′是P中的一个重言式,则a′在Nc中的任一个代入实例a是 永真式 证:设a中出现的命题变元符号都在p0,p1,p2,…,pk中,a是 将a中所有p都替换为Nc中公式a;得到的公式(0≤i≤k).要 证α是永真式,只要证:对Nc的任一个解释Ⅰ及Nc在Ⅰ中的任 一个指派0,Ia,为此构造P的一个指派v如下 p0,p1, 1若0≤i≤k且Ib v()=10若0≤i≤k且I片a 0> 以下对a的复杂性归纳证明:Ia当且仅当v(a)=1(*) (1)当a′为命题变元符号p(某i:0≤i≤k)时,则a为a;, 从而v(a)=1→)=1→Iba→Iba 2)当a′是→B时,设β为将B中p0,m,P2,…,pk分别替 换为a0,a1,a2,……,ak得到的Nc中的公式,则a为=.由归 纳假设知:I当且仅当(6)=1.从而I→I I片月→v()=0÷→v()=1→v(a)=1 3)当a′为a1→a2时,仿(2)可证 归纳证完,(*)成立 从而,由于a为P的重言式,故va)=1,所以,IaC 3.21 V α P g+. α  NL :|}~G α f  E% α DfK$Q p0, p1, p2, ··· , pk  α  α I# pi Qhr NL  αi [n (0 ≤ i ≤ k). 6 H α f =6H NL :￾ I H NL  I :  - σ, I | σ α, .i P  - v  v : {p0, p1, ··· , pn, · · ·} −→ {0, 1} v(pi) = ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ 1 V 0 ≤ i ≤ k M I | σ αi 0 V 0 ≤ i ≤ k M I | σ / αi 0 i>k " α bFGCDH  I | σ α FMNF v(α )=1 (∗) (1) F α fK$ pi (a i : 0 ≤ i ≤ k) /. α  αi, TU v(α )=1 ⇐⇒ v(pi)=1 ⇐⇒ I | σ αi ⇐⇒ I | σ α. (2) F α ¬ β /% β  β  p0, p1, p2, ··· , pk ?Æh r α0, α1, α2, ··· , αk [n NL . α  ¬ β. 8C D%: I | σ β FMNF v(β ) = 1. TU I | σ α ⇐⇒ I | σ ¬ β ⇐⇒ I | σ / β ⇐⇒ v(β )=0 ⇐⇒ v(¬ β )=1 ⇐⇒ v(α ) = 1. (3) F α  α 1→α 2 /t (2) 4H CDHM (∗) OP TU89 α  P g+] v(α ) = 1, I" I | σ α. 16