F(x)=f() 根据定理163.2的证明过程,F(x)满足Dini- Lipschitz判别法的推 论的条件,F(x)可展开为收敛的 Fourier级数 A b F(x)2 mel( s cosnr+sinx, xE[-I,] n 令x=0,得到F0)=-∑么,这就说明了级数∑收敛。 3.说明级数∑mn和∑加n点点收敛,但不可能是任何可积或 绝对可积函数的 Fourier级数 解对于任意固定的x, 单调趋于0,∑ sin hx}有界, InIn 根据 Dirichlet判别法,∑加"和∑收敛。 台nln 因为∑n=nn和∑nn都是发散的,所以这两个级数不 可能是可积或绝对可积函数的 Fourier级数 4.利用例16.1.1的结果 f(x [T,0)12 sin(2n-1) 0,.x∈|0,x) 和 Parseval等式,证明∑。1 (2n-1)2 证因为f(x)在[-z,m可积且平方可积,由 Parseval等式, f2( 所以 i(2n-1)2 2八(2F x( ) = ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x c dt a f t 2 ( ) 0 。 根据定理 16.3.2 的证明过程， 满足 Dini-Lipschitz 判别法的推 论的条件， 可展开为收敛的 Fourier 级数 F x( ) F x( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n A b a F x nx nx n n ∞ = ⎛ ⎞ = + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ， x∈[ , −π π ]， 令 x = 0，得到 0 1 (0) 2 n n A b F n ∞ = = − ∑ ，这就说明了级数 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 3．说明级数 ∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 点点收敛，但不可能是任何可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数。 解 对于任意固定的 x， 1 ln n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭， 1 ln ln n ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭单调趋于 0， 1 sin n k kx = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∑ 有界， 根据 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =2 ln sin n n nx 和 ∑ ∞ =2 ln ln sin n n nx 收敛。 因为 2 n n b n ∞ = ∑ 2 1 n n n ln ∞ = = ∑ 和 2 1 n n n ln ln ∞ = ∑ 都是发散的，所以这两个级数不 可能是可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 4．利用例 16.1.1 的结果 f x( ) [ ) ⎩ [ ) ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = π π 0, 0, 1, ,0 x x ∑ ∞ = − − − 1 2 1 2 sin(2 1) 2 1 ~ n n n x π 和 Parseval 等式，证明 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 8 2 π = 。 证 因为 f (x)在[ , −π π ]可积且平方可积，由 Parseval 等式， 2 0 1 1 f ( ) x dx dx 1 π π π −π π = = ∫ ∫ 2 1 1 2 2 ( n π 2n 1 ∞ = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑ ) ， 所以 1 2 1 2 n=1 ( ) n − ∞ ∑ 2 1 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ π ⎞ ⎟ ⎠ = − ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ 8 2 π = 。 2