习题16.3 Fourier级数的性质 1.由例16.1.2的结果 2 -sInn x∈(-丌,丌 n 用逐项积分法求x2和x3的 Fourier级数 解由于x在[-z,n有界可积,其 Fourier级数可以逐项积分, 2∫=4∑ sin ndt 4(y(c0sm-1)=4(y+4( D-cosnt(题1627() 4 coSnx,x∈[-x,丌]。 对3x2的 Fourier级数逐项积分, x=rih=x+s∫ mslo n2 cos ntdr =z2x+12∑sinm =2(16xn) sIn nx,x∈(-丌,x)。 2.证明定理1632的推论16.3.1:a+∑a, cos nx+b,sm)是某个 可积或绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑h收敛。 nal n 证设 f(1~ ≈( n cos nx+ b sin nx),习题 16.3 Fourier 级数的性质 ⒈ 由例 16.1.2 的结果 x ~ ∑ ∞ = + − 1 1 sin ( 1) 2 n n nx n ， x ∈ (−π ,π )， 用逐项积分法求 x 2和 x 3的 Fourier 级数。 解 由于ｘ在[ , −π π ]有界可积，其 Fourier 级数可以逐项积分， 1 2 0 0 1 ( 1) 2 4 sin n x x n x tdt ntdt n ∞ + = − = = ∫ ∫ ∑ 1 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 4 (cos 1) 4 4 co n n n n n nt nt n n ∞ ∞ + ∞ = = = − − = − ∑ ∑ = + ∑ 2 s n n − (习题 16.2.7.(1)) 2 2 1 ( 1) 4 co 3 n n nx n π ∞ = − = + ∑ s ， x∈[ , −π π ]。 对 2 3x 的 Fourier 级数逐项积分， 3 2 0 3 x x = t dt ∫ 2 2 0 0 1 ( 1) 3 12 cos 3 n x x n dt ntdt n π ∞ = − = + ∫ ∫ ∑ 2 3 1 ( 1) 12 sin n n x nx n π ∞ = − = + ∑ 2 2 3 1 ( 1) (6 ) 2 sin n n n nx n π ∞ = − − = ∑ ， x ∈( , −π π )。 2．证明定理 16.3.2 的推论 16.3.1： a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)是某个 可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n= ∞ ∑ 1 收敛。 证 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)， 令 1