猪論实数 §1.有理数域 1.前言讀者对于有理数及其性質,从中学的教材内便很熟悉 了。在那时,初等数学的要求,已趋向于必需扩大数的傾域。的确,在 有理数中旬使是正整数(自然数)的根,例如2,也常常井不存在。就 是說,#沒有这样的有理数q式史P及自然数)其不友態簑 于2 为了征明,試假定其反面:設有分数,其不方(2)=2我 們可以假設是既豹分数郎P和q是沒有公約数的。因p2=292,故 P为偶数:p=2r(7一整数),于是q为奇数。用P的式子代入,得: q2=2r2,由此推得q为偶数。所得的矛盾便誑明了我們的命題 同时,若我們仅停留在有理数的范图内,那末在几何学上便已显然 知道,并非一切的穀段都能有一个長度。例如考察边長为罩位長度的 正方形,其对角機就不可熊有有理長度q,因若不然,依里达哥拉定 理,这長度的方应等于2,而我們已看到这是不可能的。 在本緒論内,我們要做这样一件工作:在有理数域中添上新的数 无理数,以扩大有理数域的范園。同时,我們要証明,对有理数施 行算术运算及用等号、不等号精合它們等普通性質,在扩大的傾城內仍 然是实的。为着要对扩大后的数域来驗証上逑性質,需选出为数最 少的基本性質,使其余的一切性質都能作为形式逊輯的精果而从之推 出:所要驗誑的便仅限于这些基本性質了。 因此,我們列举有理数城的下列一些基本性質。同时我們将用一 博士家园论坛流星 一兀博士家园论坛 流星