答:首先必须明确两个概念: (1)f(x)在x点的泰勒级数是指幂级数∑/"(x)(x-x): (2)f(x)在x点能展开为泰勒级数是指存在x的某个邻域U(x) 总有(x)=∑ro(xXx-xy,xeU(x) 即所展开成的级数必须收敛于f(x)。 以上是二个不同的概念,事实上只要f(x)在x点有任意阶导数,就可以写出泰勒级数, 但根据收敛定理知,f(x)在∪(x0)内收敛于f(x)的充分必要条件是:在U(x0)内,f(x) 的泰勒公式的余项R(x)→0(n→∞),若没有lmR(x)=0的条件,f(x)在x点就不 定能展开为泰勒级数。 例如(x)={e2,当x≠时在 x=0时=0点各阶导数都存在,且等于零,事实上 fo)=im1(x)-/0 0,1 令=tlim ±√ →+=2ve ,(x≠0) 0 f"(O)=lim/(x)-f(o lim =lm 令 lim 由归纳法(略),得fm(0)=0(n=3,4,…) 由于f"(O)=0n=12…),因此f(x)在x=0点的泰勒级数Q;其和函数 为S(x)=0,x∈(-∞,+∞)。说明∫(x)在x=0点的泰勒级数在邻域U(0)内不收敛于 f(x),因此,f(x)在x=0点不能展开为幂级数 问题6怎样用间接法将函数展开为幂级数?答：首先必须明确两个概念： （1） f x( ) 在 0 x 点的泰勒级数是指幂级数 ( ) 0 0 0 1 ( )( ) ! n n n f x x x n  =  − ； （2） f x( ) 在 0 x 点能展开为泰勒级数是指存在 0 x 的某个邻域 0 U x( ) ， 总有 ( ) 0 0 0 1 ( ) ( )( ) ! n n n f x f x x x n  = = −  ， 0 x U x  ( ) 即所展开成的级数必须收敛于 f x( ) 。 以上是二个不同的概念，事实上只要 f x( ) 在 0 x 点有任意阶导数，就可以写出泰勒级数， 但根据收敛定理知， f x( ) 在 0 ( ) x 内收敛于 f x( ) 的充分必要条件是：在 0 U x( ) 内， f x( ) 的泰勒公式的余项 ( ) 0( ) R x n n → →  ，若没有 lim ( ) 0 n n R x → = 的条件， f x( ) 在 0 x 点就不一 定能展开为泰勒级数。 例如 2 1 , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x  −   =   = 当 时 当 时 在 x = 0 点各阶导数都存在，且等于零，事实上 2 1 2 0 0 ( ) (0) 0 1 (0) lim lim lim x t x x t f x f e t f t x x x e − → → →+ − −   = = = 令 1 lim 0 2 t t→+ te  = = 2 1 3 2 ( ) ,( 0) x f x e x x −  =  2 2 1 1 3 4 0 0 0 2 0 ( ) (0) 2 (0) lim lim lim x x x x x e f x f e x f x x x − − → → → −   −  = = = 2 2 1 2 lim 0 t t t t x e →+ 令 = = 由归纳法（略），得 ( ) (0) 0 n f = ( 3,4, ) n = 由于 ( ) (0) 0( 1,2, ) n f n = = ，因此 f x( ) 在 x = 0 点的泰勒级数为 0 0 ! n n x n  −  ，其和函数 为 S x x ( ) 0, ( , ) =  − + 。说明 f x( ) 在 0 x = 0 点的泰勒级数在邻域 U (0) 内不收敛于 f x( ) ，因此， f x( ) 在 0 x = 0 点不能展开为幂级数。 问题 6 怎样用间接法将函数展开为幂级数？