证明提要:取定V的一个基a1,a2…,an,设A(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an)A.因为 m(ImA)=T,所以rank(A)=T.由矩阵理论知A=A1+A2+…+A,rank(A1)=1,1≤i≤T 于rank(A)=1,所以dim(ImA)=1,1≤i≤r 例8.设V是维线性空间,A,B∈Hom(VV).求证: (1) dim(Im(A+B))<dim(Im A)+dim(Im6) (2)dim(Ker AB)< dim(Ker A)+ dim(KerB) (3)dim(Im. A5)> dim(Im A)+dim(ImB)-n. 例9.设A1,A2,…,Am∈Fn",A;≠0,1≤i≤m.求证:存在X∈F",使得AX≠0 1<i<m. 证明提要.设V是维线性空间,取定V的一个基a1,a2,…,On,由同构关系,存在A;∈Hom(V,V), 1≤i≤m,使得A(a1,a2,……,an)=(a1,a2,…,on)A,1≤i≤m.由习题结论知存在0≠a∈V 使得A(a)≠0,1≤i≤m.由同构关系知存在0≠X∈F",使得A1X≠0,1≤i≤m 例10.设V是n维线性空间,0≠a∈V.求证{A(a)|A∈Hom(v,V)=V 证明提要:在同构意义下,要证明:0≠X∈F,则{AXA∈F"}=F",事实上, 设X=(x1,x2,…,n)由于X≠0,不妨设x≠0.则E=÷EX,1≤i≤m因为 E1,E2,…,En是P的基,所以{AX|A∈F"x"}=F 习题 题1.记R+=R.定义ab=mb,k*a=nk (1)证明R+在上面定义的加法⊕和数乘*下构成一个线性空间 (2)求证R作为R上的线性空间与(1)中的空间R+同构并写出一个同构对应 题2.在P2×2中 J(a1,a2,a3,a4)的一个基,并扩为F2×2的一个基 题3.设V是n维线性空间,A∈Hom(V,V).证明:A=P6=Cg,这里P,Q是可逆变换 题4.设V是维线性空间.求证对于任意A,6∈Hom(V,V),都有AB-B4≠ 题5.设V是n维线性空间,A∈Hom(V,V).求证: (1)dim(Ker A)<2 dim(Ker A) (2)如果A2=A,则V= Im,A e Im(A-8) 题6.(1)设A2+2A-E=0,则A可逆,且A-1=A+28 (2)若A6=A+B,则AB=BA 题7.设A∈Fm,如果存在正整数t,使得rank(4)=rank(A+1),则对于任意正整数s,都有 题8.设V是n维线性空间,0≠a∈V.求证W={A∈Hom(V,V)|A(a)=0}是Hom(V,V 的子空间,并求其维数 题9.设V是维线性空间,A∈Hom(V,V).求证: