习题16.2 Fourier级数的收敛判别法 1.设v(x)在[,+∞)上连续且单调,limv(x)=0,证明 lim v(x)sin pxdx=0 证因为limv(x)=0,所以存在N>0,使得当x≥N时,|v(x)k1。利 用积分第二中值定理可得 J叭 in p drl=(w s sin px.(小如m四 <I sin pxdx+ sin pxdxs(VA>N), 因此 从而 P 而由 Riemann引理, iv(x) sin pxdx=0。 因此 ∫。()rx=m∫。以mr+m∫v(mp=0 2.设函数v()在[-z,m上可积或绝对可积,在v=0点连续且有单侧 导数,证明 l COS-cos pu 2 cos oS pu 证「v(l) [v(a)-v(-l) 2 2 由于习题 16.2 Fourier 级数的收敛判别法 1．设ψ (x)在[ , 0 +∞)上连续且单调， lim ( ) = 0 →+∞ x x ψ ，证明 lim ( )sin 0 0 = ∫ +∞ →+∞ x pxdx p ψ . 证 因为 lim ( )= 0 →+∞ x x ψ ，所以存在 N > 0，使得当 x ≥ N 时，|ψ (x) |< 1。利 用积分第二中值定理可得 ( )sin ( ) sin ( ) sin A A N N x px dx N px dx A px dx ξ ξ ψ ψ = +ψ ∫ ∫ ∫ 4 sin sin A N px dx px dx p ξ ξ < + ≤ ∫ ∫ （∀A > N ）， 因此 p x pxdx N 4 ∫ ( )sin ≤ +∞ ψ ，从而 lim ( )sin 0 p N ψ x pxdx +∞ →+∞ = ∫ 。 而由 Riemann 引理， lim ( )sin 0 0 = ∫ →+∞ N p ψ x pxdx 。 因此 0 0 lim ( )sin lim ( )sin lim ( )sin 0 N p p p N ψ ψ x px dx x px dx ψ x px dx +∞ +∞ →+∞ →+∞ →+∞ = + ∫ ∫ ∫ = 。 2．设函数ψ (u)在[−π ,π ]上可积或绝对可积，在u = 0点连续且有单侧 导数，证明 ∫ ∫ = − − − →+∞ − π π π ψ ψ ψ 0 2 [ ( ) ( )]cot 2 1 2 2sin cos 2 cos lim ( ) du u du u u u pu u u p 。 证 ∫ ∫ − = − − − − π π π ψ ψ ψ 0 2 2sin cos 2 cos [ ( ) ( )] 2 2sin cos 2 cos ( ) du u pu u du u u u pu u u 。 由于 1