lim y(u(=)=lmy)=o-V=)-y10)-2=:(0)+v2(0), →>0+ 2 可知函数()-(-)在[.n上可积或绝对可积,由 Riemann引理可得 2 sin lim t(u)-w(u) cos pudu 0 于是 cOS ∫).-2dw-w()-(-)on;de SIn u cOS Dul 」。(a)-(-a) 3.设函数v(n)在[-6,6上单调,证明 lim 证 ()--[v(0+)+v(0-) ∫(a)-(0+)+(-n)-v(0)sPdh 「Dv(x)-v0+) Sin pu d+。(-)-v(0-) sin pi 因为v()在[-,]上单调,所以v(u)-v(0+)和v(-n)-v(0-)都在[0,6]上 单调,利用 Dirichlet引理即得结论。 4.证明 Dirichlet引理对v(u)是分段单调有界函数的情况依然成立, 证由于v(u)在0分段单调,所以存在∈(0,δ),使得v(u)在[0,6] 上单调,从而满足 Dirichlet引理条件。由于在[a,d8]上v()分段单 调有界,所以()-0+在,。上满足 Riemann引理条件。于是(0) (0) 2 sin ( ) (0) [ ( ) (0)] 2 lim 2 2sin ( ) ( ) lim 0 0 + − → + → + = ′ + ′ − − − − = − − ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ u u u u u u u u u u ， 可知函数 ( ) ( ) 2sin 2 u u u ψ − − ψ 在[0,π ]上可积或绝对可积，由 Riemann 引理可得 p→+∞ lim 0 2 sin cos [ ( ) ( )] 2 1 0 − − = ∫ π ψ ψ du u pu u u 。 于是 0 cos cos 1 2 ( ) [ ( ) ( )]cot 2 2 2sin 2 u pu u u du u u u π π π ψ ψ ψ − − − − − ∫ ∫ du 0 1 cos [ ( ) ( )] du → 0 2 sin 2 pu u u u π = − ψ ψ − ∫ ，（ p → +∞）。 3．设函数ψ (u)在[−δ ,δ ]上单调，证明 0 sin [ (0 ) (0 )] 2 1 lim ( ) = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + + − →+∞ ∫− δ δ ψ ψ ψ du u pu u p . 证 1 s ( ) [ (0 ) (0 )] 2 pu u d u δ δ ψ ψ ψ − ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ − + + − ⎩ ⎭ ∫ in u { } 0 sin [ ( ) (0 )] [ ( ) (0 )] pu u u u δ = − ψ ψ + + ψ − −ψ − ∫ du 0 0 sin sin [ ( ) (0 )] [ ( ) (0 )] pu pu u du u u u δ δ = − ψ ψ + + ψ − −ψ − ∫ ∫ du ， 因为ψ (u)在[−δ ,δ ]上单调，所以ψ ( ) u −ψ (0+)和ψ ( ) −u −ψ (0−)都在[0,δ ]上 单调，利用 Dirichlet 引理即得结论。 4．证明 Dirichlet 引理对ψ (u)是分段单调有界函数的情况依然成立。 证 由于ψ (u)在[0,δ ]分段单调，所以存在 1 δ ∈(0,δ )，使得ψ (u)在 1 [0,δ ] 上单调，从而满足 Dirichlet 引理条件。由于在 1 [ , δ δ ]上ψ (u)分段单 调有界，所以 ( ) u (0 ) u ψ −ψ + 在 1 [ , δ δ ]上满足 Riemann 引理条件。于是 2