◆212· 北京科技大学学报 第34卷 实在实际中经常遇到的是时变系统.对于时变系 △x(A)=x()-x(k-1). 统，对应的差分算子不再是线性的，从而按常系数系 在下面的推导中，我们要用到差分算子如下的 统构造扩大误差系统会遇到困难，因而时变系统的 性质 预见控制问题研究甚少4) △[G()(A]=G(k)△(A)+△G()(k-1). 本文考虑一类具有状态时滞的时变离散时间系 式中，G(和()为适当维数的时变矩阵 统，通过构造比常系数系统复杂一些的扩大误差系 首先计算x(k+1)的一阶差分.在系统(1)的 统，设计出时变系统的带有预见作用的控制器. 状态方程两边取差分，利用差分算子的性质得到 1系统描述 △x(k+1)=A(k)△x(A+△A()x(k-1)+ 考虑下面带有状态时滞的离散时变系统： A,()△x(k-d+△A()x(k-d-1)+ x(k+l)=A()x(A+A()x(k-d+B((), B()△u(k)+△B()(k-1).(3) Ly()=C()x(). 对误差信号e(k+1)=R(k+1)-y(k+1)=R(k+ (1) 1)-C(k+1)x(k+1)两边取差分，由差分算子的 式中：x()、()和y(A分别为系统的状态向量， 性质和式(3)得到 输入向量和输出向量，并且x(k)∈R",u()∈R', △e(k+1)=△R(k+1)-C(k+1)A(k)△r()- y(A∈R";A()A()、B()和C()分别为n× C(k+1)△A()x(k-1)-C(k+1)A()· n、n×n、n×r和m×n的时变矩阵；d>0为状态通 △x(k-d-C(k+1)△A,(k)x(k-d-1)- 道的时滞，取整数；时间变量k=0,1,…,N 设目标值信号为R(),其中R()∈R".定义 C(k+1)B(k)△u()-C(k+1)· 误差信号为 △B(k)u(k-1)-△C(k+1)x(). e()=R()-y(. (2) 因此 我们研究系统(1)的最优预见控制问题.对系 e(k+1)=e(k)+△e(k+l)= 统(1)作如下基本假设. e()+△R(k+l)-[△C(k+1)+ 在当前时刻k,目标值信号R(k)已知，并且目 C(k+1)A(A]△x(k)-[△C(k+I)+ 标值信号的预见步数为MR,即R(),R(k+1),…, C(k+1)△A(A]x(k-1)- R(k+M)为已知，MR步以后其值为零，即 C(k+1)A(k)△x(k-d)- R(k+)=0,j=MR+1,MR+2,… C(k+1)△4()x(k-d-1)- 注1这是关于目标值信号可预见性的假设. 其中认为可预见步数之外相应信号为零是因为在可 C(k+1)B()△u()-C(k+1)△B()(k-1). 预见步数之外该信号对当前的控制策略影响不大， (4) 因此可认为它是任何常数 通过式(3)和式(4)，可得 本文的目的就是在系统(1)的控制器设计中引 e(k+1) e(k) 进可以预见的目标值信号R(k),使得输出信号能 △x(k+1I) =Φ，(k) △r() 4 够更好地跟踪目标信号，从而提高系统的控制性能 x( Lx(k-1)] 2扩大误差系统的推导 Φ()△r(k-d)+Φa(k)x(k-d-l)+ ΦB△()+Φ()u(k-1)+④R△R(k+1). 本节采用类似于线性定常系统最优预见控制的 (5) 方法，通过引入一个误差系统，把上面的跟踪控 制问题转化为调节问题.本文中的差分算子取为 式中， -△C(k+1)-C(k+1)A()-△C(k+1)-C(k+1)△A() 更，（肉=0xm A() △4(A)北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 实在实际中经常遇到的是时变系统． 对于时变系 统，对应的差分算子不再是线性的，从而按常系数系 统构造扩大误差系统会遇到困难，因而时变系统的 预见控制问题研究甚少［14］． 本文考虑一类具有状态时滞的时变离散时间系 统，通过构造比常系数系统复杂一些的扩大误差系 统，设计出时变系统的带有预见作用的控制器． 1 系统描述 考虑下面带有状态时滞的离散时变系统: x( k + 1) = A( k) x( k) + A1 ( k) x( k － d) + B( k) u( k) ， {y( k) = C( k) x( k) ． ( 1) 式中: x( k) 、u( k) 和 y( k) 分别为系统的状态向量， 输入向量和输出向量，并且 x( k) ∈Rn ，u( k) ∈Rr ， y( k) ∈Rm ; A( k) 、A1 ( k) 、B( k) 和 C( k) 分别为 n × n、n × n、n × r 和 m × n 的时变矩阵; d ＞ 0 为状态通 道的时滞，取整数; 时间变量 k = 0，1，…，N． 设目标值信号为 R( k) ，其中 R( k) ∈Rm ． 定义 误差信号为 e( k) = R( k) － y( k) ． ( 2) 我们研究系统( 1) 的最优预见控制问题． 对系 统( 1) 作如下基本假设． 在当前时刻 k，目标值信号 R( k) 已知，并且目 标值信号的预见步数为 MR，即 R( k) ，R( k + 1) ，…， R( k + MR ) 为已知，MR 步以后其值为零，即 R( k + j) = 0，j = MR + 1，MR + 2，… 注 1 这是关于目标值信号可预见性的假设． 其中认为可预见步数之外相应信号为零是因为在可 预见步数之外该信号对当前的控制策略影响不大， 因此可认为它是任何常数． 本文的目的就是在系统( 1) 的控制器设计中引 进可以预见的目标值信号 R( k) ，使得输出信号能 够更好地跟踪目标信号，从而提高系统的控制性能． 2 扩大误差系统的推导 本节采用类似于线性定常系统最优预见控制的 方法［4］，通过引入一个误差系统，把上面的跟踪控 制问题转化为调节问题． 本文中的差分算子取为 Δx( k) = x( k) － x( k － 1) ． 在下面的推导中，我们要用到差分算子如下的 性质［14］: Δ［G( k) v( k) ］= G( k) Δv( k) + ΔG( k) v( k － 1) ． 式中，G( k) 和 v( k) 为适当维数的时变矩阵． 首先计算 x( k + 1) 的一阶差分． 在系统( 1) 的 状态方程两边取差分，利用差分算子的性质得到 Δx( k + 1) = A( k) Δx( k) + ΔA( k) x( k － 1) + A1 ( k) Δx( k － d) + ΔA1 ( k) x( k － d － 1) + B( k) Δu( k) + ΔB( k) u( k － 1) ． ( 3) 对误差信号 e( k + 1) = R( k + 1) － y( k + 1) = R( k + 1) － C( k + 1) x( k + 1) 两边取差分，由差分算子的 性质和式( 3) 得到 Δe( k + 1) = ΔR( k + 1) － C( k + 1) A( k) Δx( k) － C( k + 1) ΔA( k) x( k － 1) － C( k + 1) A1 ( k)· Δx( k － d) － C( k + 1) ΔA1 ( k) x( k － d － 1) － C( k + 1) B( k) Δu( k) － C( k + 1)· ΔB( k) u( k － 1) － ΔC( k + 1) x( k) ． 因此 e( k + 1) = e( k) + Δe( k + 1) = e( k) + ΔR( k + 1) －［ΔC( k + 1) + C( k + 1) A( k) ］Δx( k) －［ΔC( k + 1) + C( k + 1) ΔA( k) ］x( k － 1) － C( k + 1) A1 ( k) Δx( k － d) － C( k + 1) ΔA1 ( k) x( k － d － 1) － C( k + 1) B( k) Δu( k) － C( k + 1) ΔB( k) u( k － 1) ． ( 4) 通过式( 3) 和式( 4) ，可得 e( k + 1) Δx( k + 1) x( k        )  = ΦA ( k) e( k) Δx( k) x( k － 1        )  + ΦA ( k) Δx( k － d) + Φd ( k) x( k － d － 1) + ΦBΔu( k) + ΦB ( k) u( k － 1) + ΦRΔR( k + 1) ． ( 5) 式中， ΦA ( k) = Im － ΔC( k + 1) － C( k + 1) A( k) － ΔC( k + 1) － C( k + 1) ΔA( k) 0n × m A( k) ΔA( k) 0n × m In I          n  ， ·212·