临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第三章函数极限 、基本概念 1.函数极限的定义: (1)x→>+∞时函数极限的定义:设∫为定义在[a,+∞)上的函数,A为实数。若对任 给的E>0,存在正数M(≥a),使得当x>M时有|f(x)-Ak<E,则称函数∫当x→+∞ 时以A为极限。记作 limf(x)=A或∫(x)→>A(x→+∞) (2)x→x时函数的极限:设函数f(x)在点x的某个空心邻域U(x06)内有定义, A为定数,若对任给的vE>0,36(<6)>0,使得当04x-x0k时有f(x)-AkE, 则称函数∫当x趋于x时以A为极限(或称A为x→>x0时f(x)的极限),记作 imf(x)=A或(f(x)→>A(x (3)单侧极限的定义:设函数∫在U2(x0:)内有定义,A为定数。若对任给的 E>0,36(<)>0,使得当x<x<x0+6时有f(x)-AkE,则称数A为函数∫当x 趋于x时的右极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→x)或f(x+0)=A。 类似可给出左极限定义(U(x;0),x-0<x<x,limf(x)=A或 f(x)→>A(x→>x0-)或f(x0-0)=A) 二、基本定理 1.函数极限的性质定理 (1)唯一性定理:若极限limf(x)存在,则此极限是唯一的。 (2)局部有界性定理:若limf(x)存在,则∫在x的某空心邻域内有界 (3)局部保号性定理:若limf(x)=A>0,则对任何正数0<r<A,存在U(x)使临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第三章 函数极限 一、基本概念 1. 函数极限的定义： ⑴ x → +∞ 时函数极限的定义：设 f 为定义在[ , a +∞) 上的函数，Ａ为实数。若对任 给的ε > 0 ，存在正数Ｍ(≥ a) ，使得当 x > M 时有 | ( f x) − A|< ε , 则称函数 f 当 x → +∞ 时以Ａ为极限。记作 lim ( ) x f x A →+∞ = 或 f x( ) → → A(x +∞) . ⑵ 0 x → x 时函数的极限：设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ;δ′ 内有定义， Ａ为定数，若对任给的∀ > ε 0,∃δ δ (< ′) > 0，使得当 0 0 | < x x − |< δ 时有| ( f x) − A|< ε ， 则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为极限（或称Ａ为 0 x → x 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x → = A或（ 0 f ( ) x A → (x → x ) . ⑶ 单侧极限的定义：设函数 f 在 0 0 U x( ;δ ) + ′ 内有定义，Ａ为定数。若对任给的 ∀ > ε 0,∃δ δ (< ′) > 0，使得当 0 0 x x < < x +δ 时有| ( f x) − A|< ε , 则称数Ａ为函数 当 趋于 f x 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x( ) A(x x ) → → + 或 0 f ( 0 x A + ) = 。 类似可给 出左极限 定义（ 0 0 U x( ;δ ) − ， 0 0 x −δ < <x x ， 0 lim ( ) x x f x → − = A 或 0 f x( ) A(x x ) → → − 或 0 f ( 0 x A − ) = ）. 二、基本定理 1. 函数极限的性质定理 ⑴ 唯一性定理：若极限 0 lim ( ) x x f x → 存在，则此极限是唯一的。 ⑵ 局部有界性定理：若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域内有界。 ⑶ 局部保号性定理：若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = > ，则对任何正数0 < r < A ，存在U x 0 ( 0 ) 使 - 1 -